Номер 21.54, страница 229 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.54. Стороны параллелограмма равны 3 см и 1 см, а угол между диагоналями равен $45^\circ$. Найдите площадь параллелограмма.

Обозначим стороны параллелограмма как $a = 3$ см и $b = 1$ см. Пусть диагонали параллелограмма равны $d_1$ и $d_2$, а угол между ними $γ = 45°$.

Площадь параллелограмма можно найти по формуле через его диагонали:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\gamma)$

Чтобы использовать эту формулу, нам необходимо найти произведение длин диагоналей $d_1 d_2$.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Они разбивают параллелограмм на четыре треугольника. Рассмотрим два смежных треугольника, образованных сторонами параллелограмма $a$ и $b$ и половинами диагоналей.

Первый треугольник имеет стороны $\frac{d_1}{2}$, $\frac{d_2}{2}$ и $a=3$.
Второй треугольник имеет стороны $\frac{d_1}{2}$, $\frac{d_2}{2}$ и $b=1$.

Углы между сторонами $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$ в этих треугольниках являются смежными, то есть один равен $45°$, а другой $180° - 45° = 135°$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Следовательно, угол $135°$ лежит в треугольнике со стороной $a=3$, а угол $45°$ — в треугольнике со стороной $b=1$.

Применим теорему косинусов для каждого из этих треугольников:
1) Для треугольника со стороной $a=3$:
$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cos(135^\circ)$
$3^2 = \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} - \frac{d_1 d_2}{2} (-\frac{\sqrt{2}}{2})$
$9 = \frac{d_1^2 + d_2^2}{4} + \frac{d_1 d_2 \sqrt{2}}{4}$
Умножим обе части на 4:
$36 = d_1^2 + d_2^2 + d_1 d_2 \sqrt{2}$ (1)

2) Для треугольника со стороной $b=1$:
$b^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cos(45^\circ)$
$1^2 = \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} - \frac{d_1 d_2}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2})$
$1 = \frac{d_1^2 + d_2^2}{4} - \frac{d_1 d_2 \sqrt{2}}{4}$
Умножим обе части на 4:
$4 = d_1^2 + d_2^2 - d_1 d_2 \sqrt{2}$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($d_1^2 + d_2^2$ и $d_1 d_2$). Вычтем из уравнения (1) уравнение (2):
$(d_1^2 + d_2^2 + d_1 d_2 \sqrt{2}) - (d_1^2 + d_2^2 - d_1 d_2 \sqrt{2}) = 36 - 4$
$2 d_1 d_2 \sqrt{2} = 32$
$d_1 d_2 = \frac{32}{2\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$

Мы нашли произведение диагоналей. Теперь можем вычислить площадь параллелограмма:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\gamma) = \frac{1}{2} (8\sqrt{2}) \sin(45^\circ)$
Так как $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$S = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{8 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})}{4} = \frac{8 \cdot 2}{4} = \frac{16}{4} = 4$

Площадь параллелограмма равна 4 см².
Ответ: 4 см².