Номер 22.5, страница 231 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.5. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 6 см и 10 см, а высота пирамиды — 4 см. Найдите:

1) диагональ усечённой пирамиды;

2) площадь сечения, проходящего через боковые рёбра, не принадлежащие одной грани;

3) площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

В задаче дана правильная четырёхугольная усечённая пирамида. Это означает, что её основаниями являются два квадрата, а боковые грани — равные равнобедренные трапеции. Обозначим данные: сторона нижнего основания $a_1 = 10 \text{ см}$, сторона верхнего основания $a_2 = 6 \text{ см}$, высота пирамиды $h = 4 \text{ см}$.

Диагональ усечённой пирамиды $D$ соединяет вершину одного основания с противолежащей вершиной другого основания. Для её нахождения рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота пирамиды $h$ и проекция диагонали $D$ на плоскость нижнего основания, а гипотенузой — сама диагональ $D$.
Сначала найдём диагонали квадратных оснований:
Диагональ нижнего основания: $d_1 = a_1\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \text{ см}$.
Диагональ верхнего основания: $d_2 = a_2\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \text{ см}$.
Проекция диагонали пирамиды на плоскость нижнего основания (обозначим её $p$) соединяет вершину нижнего основания с проекцией противолежащей вершины верхнего основания. Так как пирамида правильная, её высота соединяет центры оснований. Длина этой проекции равна сумме отрезков от центра нижнего основания до его вершины ($\frac{d_1}{2}$) и от центра до проекции вершины верхнего основания ($\frac{d_2}{2}$):
$p = \frac{d_1}{2} + \frac{d_2}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} + \frac{6\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \text{ см}$.
Теперь по теореме Пифагора найдём диагональ пирамиды $D$:
$D^2 = h^2 + p^2$
$D^2 = 4^2 + (8\sqrt{2})^2 = 16 + 64 \cdot 2 = 16 + 128 = 144$
$D = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$.

Ответ: $12 \text{ см}$.

Данное сечение является диагональным сечением пирамиды и представляет собой равнобедренную трапецию.
Основаниями этой трапеции служат диагонали оснований пирамиды: $d_1 = 10\sqrt{2} \text{ см}$ и $d_2 = 6\sqrt{2} \text{ см}$.
Высота этой трапеции равна высоте усечённой пирамиды: $h = 4 \text{ см}$.
Площадь трапеции $S_{\text{сеч}}$ вычисляется по формуле:
$S_{\text{сеч}} = \frac{d_1 + d_2}{2} \cdot h$
$S_{\text{сеч}} = \frac{10\sqrt{2} + 6\sqrt{2}}{2} \cdot 4 = \frac{16\sqrt{2}}{2} \cdot 4 = 8\sqrt{2} \cdot 4 = 32\sqrt{2}\;\text{см}^2$.

Ответ: $32\sqrt{2}\;\text{см}^2$.

Боковая поверхность правильной усечённой четырёхугольной пирамиды состоит из четырёх одинаковых равнобедренных трапеций (боковых граней).
Для нахождения площади одной такой трапеции нам нужна её высота, которая называется апофемой усечённой пирамиды ($h_s$).
Найдём апофему, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, где гипотенуза — это апофема $h_s$, один катет — это высота пирамиды $h$, а второй катет — это отрезок, длина которого равна $\frac{a_1 - a_2}{2}$.
Длина второго катета: $\frac{10 - 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ см}$.
По теореме Пифагора:
$h_s^2 = h^2 + \left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2$
$h_s^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$
$h_s = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} \text{ см}$.
Теперь найдём площадь одной боковой грани $S_{\text{грани}}$:
$S_{\text{грани}} = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot h_s = \frac{10 + 6}{2} \cdot 2\sqrt{5} = \frac{16}{2} \cdot 2\sqrt{5} = 8 \cdot 2\sqrt{5} = 16\sqrt{5}\;\text{см}^2$.
Площадь всей боковой поверхности $S_{\text{бок}}$ равна сумме площадей четырёх граней:
$S_{\text{бок}} = 4 \cdot S_{\text{грани}} = 4 \cdot 16\sqrt{5} = 64\sqrt{5}\;\text{см}^2$.

Ответ: $64\sqrt{5}\;\text{см}^2$.