Номер 22.4, страница 231 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.4. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 6 см и 9 см, а двугранный угол пирамиды при ребре большего основания равен $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h$

где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $h$ — апофема (высота боковой грани).

Дано, что усечённая пирамида правильная четырёхугольная, следовательно, её основаниями являются квадраты. Стороны оснований равны $a_1 = 9$ см и $a_2 = 6$ см.

Найдём периметры оснований:

$P_1 = 4a_1 = 4 \cdot 9 = 36 \text{ см}$

$P_2 = 4a_2 = 4 \cdot 6 = 24 \text{ см}$

Для нахождения апофемы $h$ рассмотрим осевое сечение усечённой пирамиды, проведённое через апофемы противоположных боковых граней. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию. Основаниями этой трапеции являются отрезки, соединяющие центры оснований с серединами сторон, их длины равны половинам сторон квадратов-оснований: $r_1 = \frac{a_1}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$ см и $r_2 = \frac{a_2}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см. Боковой стороной этой трапеции является апофема $h$.

Двугранный угол при ребре большего основания — это угол между боковой гранью и плоскостью большего основания. В нашем сечении это угол при большем основании трапеции, который по условию равен $60^\circ$.

Проведём в этой трапеции высоту из вершины меньшего основания на большее. Получим прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза — это апофема $h$, один из катетов равен разности радиусов вписанных в основания окружностей $r_1 - r_2 = 4,5 - 3 = 1,5$ см, а прилежащий к этому катету угол равен $60^\circ$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике найдём апофему $h$:

$\cos(60^\circ) = \frac{r_1 - r_2}{h}$

$h = \frac{r_1 - r_2}{\cos(60^\circ)} = \frac{1,5}{1/2} = 1,5 \cdot 2 = 3 \text{ см.}$

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(36 + 24) \cdot 3 = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 3 = 30 \cdot 3 = 90 \text{ см}^2$.

Ответ: $90 \text{ см}^2$.