Номер 22.3, страница 231 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.3. Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны $12 \text{ см}$ и $18 \text{ см}$, а двугранный угол пирамиды при ребре большего основания равен $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).

Основаниями пирамиды являются правильные треугольники со сторонами $a_1 = 18$ см и $a_2 = 12$ см. Найдем их периметры:
Периметр большего основания: $P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 18 = 54$ см.
Периметр меньшего основания: $P_2 = 3 \cdot a_2 = 3 \cdot 12 = 36$ см.

Для нахождения апофемы $h_a$ воспользуемся двугранным углом при ребре большего основания. Этот угол образован боковой гранью и плоскостью большего основания. Его линейная мера — это угол между апофемой боковой грани $h_a$ и проекцией этой апофемы на плоскость большего основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой $h_a$ (гипотенуза), высотой усеченной пирамиды $H$ (катет) и отрезком, равным разности апофем оснований $r_1 - r_2$ (второй катет). Угол между гипотенузой $h_a$ и катетом $(r_1 - r_2)$ равен данному двугранному углу, то есть $45^\circ$.

Найдем апофемы оснований (радиусы вписанных в них окружностей). Для правильного треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности вычисляется по формуле $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
Апофема большего основания: $r_1 = \frac{18\sqrt{3}}{6} = 3\sqrt{3}$ см.
Апофема меньшего основания: $r_2 = \frac{12\sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{3}$ см.

Разность апофем оснований составляет: $r_1 - r_2 = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$ см. Этот отрезок является катетом в нашем прямоугольном треугольнике, прилежащим к углу $45^\circ$.

Из прямоугольного треугольника находим апофему $h_a$:
$\cos(45^\circ) = \frac{r_1 - r_2}{h_a}$
Отсюда $h_a = \frac{r_1 - r_2}{\cos(45^\circ)} = \frac{\sqrt{3}}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6}$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности усеченной пирамиды:
$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a = \frac{1}{2}(54 + 36) \cdot \sqrt{6} = \frac{1}{2} \cdot 90 \cdot \sqrt{6} = 45\sqrt{6}$ см².

Ответ: $45\sqrt{6}$ см².