gdz.top
Номер 22.8, страница 231 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков
Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М., Номировский Д. А.
Тип: Учебник
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: зелёный, салатовый
ISBN: 978-5-360 07805-0
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 4. Многогранники. Параграф 22. Усечённая пирамида - номер 22.8, страница 231.
№22.7
№22.8 (с. 231)
Условие. №22.8 (с. 231)
22.8. Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны 6 см и 12 см, а площадь боковой поверхности — $54 \text{ см}^2$. Найдите высоту пирамиды.
Решение. №22.8 (с. 231)
Решение 2. №22.8 (с. 231)
Пусть $a_1$ и $a_2$ — стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды, а $S_{бок}$ — её площадь боковой поверхности. По условию задачи имеем: $a_1 = 12$ см, $a_2 = 6$ см, $S_{бок} = 54$ см².
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды находится по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $l$ — апофема (высота боковой грани). Основаниями являются правильные треугольники, поэтому их периметры равны:
$P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 12 = 36$ см.
$P_2 = 3 \cdot a_2 = 3 \cdot 6 = 18$ см.
Теперь из формулы площади боковой поверхности выразим и найдем апофему $l$:
$54 = \frac{1}{2}(36 + 18) \cdot l$
$54 = \frac{1}{2} \cdot 54 \cdot l$
$l = \frac{54}{27} = 2$ см.
Высоту пирамиды $H$ можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота $H$ и разность радиусов окружностей, вписанных в основания ($r_1 - r_2$), а гипотенузой — апофема $l$. По теореме Пифагора: $l^2 = H^2 + (r_1 - r_2)^2$.
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Найдем радиусы для оснований:
$r_1 = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.
$r_2 = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.
Подставим найденные значения $l$, $r_1$ и $r_2$ в соотношение, полученное из теоремы Пифагора, и найдем высоту $H$:
$2^2 = H^2 + (2\sqrt{3} - \sqrt{3})^2$
$4 = H^2 + (\sqrt{3})^2$
$4 = H^2 + 3$
$H^2 = 4 - 3 = 1$
$H = \sqrt{1} = 1$ см.
Ответ: 1 см.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 22.8 расположенного на странице 231 к учебнику 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №22.8 (с. 231), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), Номировский (Дмитрий Анатольевич), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.