Номер 22.15, страница 232 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.15. В правильной треугольной усечённой пирамиде площадь боковой поверхности равна площади меньшего основания. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен $\alpha$. Найдите отношение площади большего основания к площади боковой поверхности.

Пусть дана правильная треугольная усечённая пирамида. Обозначим сторону большего основания через $a_1$, а сторону меньшего основания через $a_2$.

Площади оснований, являющихся равносторонними треугольниками, вычисляются по формулам:

Площадь большего основания: $S_1 = \frac{a_1^2\sqrt{3}}{4}$

Площадь меньшего основания: $S_2 = \frac{a_2^2\sqrt{3}}{4}$

Боковая поверхность усечённой пирамиды состоит из трёх одинаковых равнобедренных трапеций. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей этих трапеций. Пусть $h_a$ — апофема (высота боковой грани) усечённой пирамиды. Тогда площадь боковой поверхности равна:

$S_{бок} = 3 \cdot \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot h_a$

По условию задачи, площадь боковой поверхности равна площади меньшего основания:

$S_{бок} = S_2$

$3 \frac{a_1 + a_2}{2} h_a = \frac{a_2^2\sqrt{3}}{4}$

Выразим апофему $h_a$ из этого равенства:

$h_a = \frac{a_2^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{3(a_1 + a_2)} = \frac{a_2^2\sqrt{3}}{6(a_1 + a_2)}$ (1)

Двугранный угол $\alpha$ при ребре большего основания — это угол между плоскостью боковой грани и плоскостью большего основания. Его можно найти, рассмотрев сечение, перпендикулярное ребру большего основания. В этом сечении угол $\alpha$ будет образован апофемой $h_a$ и проекцией этой апофемы на плоскость основания. Эта проекция равна разности радиусов окружностей, вписанных в основания.

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, равен $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Тогда радиусы для наших оснований:

$r_1 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}}$ (для большего основания)

$r_2 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}}$ (для меньшего основания)

Из прямоугольного треугольника, образованного апофемой $h_a$ (гипотенуза), высотой усечённой пирамиды и разностью радиусов $r_1 - r_2$ (катеты), имеем соотношение:

$\cos \alpha = \frac{r_1 - r_2}{h_a}$

Выразим $h_a$ из этого соотношения:

$h_a = \frac{r_1 - r_2}{\cos \alpha} = \frac{\frac{a_1}{2\sqrt{3}} - \frac{a_2}{2\sqrt{3}}}{\cos \alpha} = \frac{a_1 - a_2}{2\sqrt{3}\cos \alpha}$ (2)

Теперь приравняем два полученных выражения для апофемы $h_a$ (1) и (2):

$\frac{a_2^2\sqrt{3}}{6(a_1 + a_2)} = \frac{a_1 - a_2}{2\sqrt{3}\cos \alpha}$

Упростим это уравнение:

$a_2^2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}\cos \alpha = 6(a_1 + a_2)(a_1 - a_2)$

$a_2^2 \cdot 6 \cos \alpha = 6(a_1^2 - a_2^2)$

$a_2^2 \cos \alpha = a_1^2 - a_2^2$

$a_1^2 = a_2^2 + a_2^2 \cos \alpha = a_2^2(1 + \cos \alpha)$

Нам необходимо найти отношение площади большего основания к площади боковой поверхности, то есть $\frac{S_1}{S_{бок}}$.

По условию $S_{бок} = S_2$, поэтому искомое отношение равно $\frac{S_1}{S_2}$.

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{a_1^2\sqrt{3}}{4}}{\frac{a_2^2\sqrt{3}}{4}} = \frac{a_1^2}{a_2^2}$

Подставим найденное соотношение для $a_1^2$:

$\frac{S_1}{S_{бок}} = \frac{a_1^2}{a_2^2} = \frac{a_2^2(1 + \cos \alpha)}{a_2^2} = 1 + \cos \alpha$

Используя тригонометрическую формулу $1 + \cos \alpha = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$, можно записать ответ в другом виде.

Ответ: $1 + \cos \alpha$ или $2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$.