Номер 22.18, страница 232 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.18. Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, удалён от концов гипотенузы на $\sqrt{5}$ см и $\sqrt{10}$ см. Найдите катеты.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Обозначим его катеты как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$. Центр вписанной окружности $O$ является точкой пересечения биссектрис углов треугольника.

По условию задачи, расстояния от центра вписанной окружности $O$ до вершин гипотенузы $A$ и $B$ составляют $OA = \sqrt{5}$ см и $OB = \sqrt{10}$ см.

Рассмотрим треугольник $AOB$. Так как $AO$ и $BO$ — биссектрисы углов $\angle A$ и $\angle B$ соответственно, то $\angle OAB = \frac{1}{2}\angle A$ и $\angle OBA = \frac{1}{2}\angle B$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ сумма острых углов равна $90^\circ$, то есть $\angle A + \angle B = 90^\circ$.

Найдем сумму углов $\angle OAB$ и $\angle OBA$ в треугольнике $AOB$:

$\angle OAB + \angle OBA = \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B = \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

Сумма углов в треугольнике $AOB$ равна $180^\circ$, следовательно, угол $\angle AOB$ равен:

$\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Теперь, зная две стороны $OA = \sqrt{5}$, $OB = \sqrt{10}$ и угол между ними $\angle AOB = 135^\circ$ в треугольнике $AOB$, мы можем найти длину стороны $AB$ (гипотенузы $c$) по теореме косинусов:

$c^2 = AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$

$c^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{10})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} \cdot \cos(135^\circ)$

Так как $\cos(135^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, подставляем это значение в формулу:

$c^2 = 5 + 10 - 2 \cdot \sqrt{50} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 15 + \sqrt{50} \cdot \sqrt{2} = 15 + \sqrt{100} = 15 + 10 = 25$.

Отсюда находим гипотенузу: $c = \sqrt{25} = 5$ см.

Далее найдем радиус $r$ вписанной окружности. Пусть точки касания окружности со сторонами $AC$, $BC$ и $AB$ — это $D$, $E$ и $F$ соответственно. Тогда $OF \perp AB$ и $OF = r$. Из прямоугольного треугольника $AOF$ по теореме Пифагора имеем $OA^2 = AF^2 + OF^2$, а из треугольника $BOF$ — $OB^2 = BF^2 + OF^2$.

$(\sqrt{5})^2 = AF^2 + r^2 \Rightarrow 5 = AF^2 + r^2$

$(\sqrt{10})^2 = BF^2 + r^2 \Rightarrow 10 = BF^2 + r^2$

Из этих уравнений выражаем $AF$ и $BF$:

$AF = \sqrt{5-r^2}$

$BF = \sqrt{10-r^2}$

Поскольку $c = AB = AF + BF$, получаем уравнение:

$\sqrt{5-r^2} + \sqrt{10-r^2} = 5$

Уединим один из корней и возведем обе части в квадрат:

$\sqrt{10-r^2} = 5 - \sqrt{5-r^2}$

$10-r^2 = 25 - 10\sqrt{5-r^2} + (5-r^2)$

$10-r^2 = 30 - r^2 - 10\sqrt{5-r^2}$

$10\sqrt{5-r^2} = 20 \Rightarrow \sqrt{5-r^2} = 2$

Возведем в квадрат еще раз: $5-r^2 = 4 \Rightarrow r^2 = 1 \Rightarrow r=1$ см.

Для прямоугольного треугольника существует формула, связывающая катеты, гипотенузу и радиус вписанной окружности: $r = \frac{a+b-c}{2}$.

Подставим известные значения $r=1$ и $c=5$:

$1 = \frac{a+b-5}{2} \Rightarrow 2 = a+b-5 \Rightarrow a+b=7$.

Также, по теореме Пифагора для исходного треугольника: $a^2+b^2=c^2$, то есть $a^2+b^2=5^2=25$.

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} a+b=7 \\ a^2+b^2=25 \end{cases}$

Из первого уравнения $b = 7-a$. Подставим во второе:

$a^2 + (7-a)^2 = 25$

$a^2 + 49 - 14a + a^2 = 25$

$2a^2 - 14a + 24 = 0$

$a^2 - 7a + 12 = 0$

Корнями этого квадратного уравнения являются $a_1=3$ и $a_2=4$.

Если $a=3$, то $b=7-3=4$. Если $a=4$, то $b=7-4=3$.

Таким образом, катеты треугольника равны 3 см и 4 см.

Ответ: 3 см и 4 см.