Вопросы, страница 240 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. Какой тетраэдр называют ортоцентрическим?

2. Сформулируйте достаточное условие того, что данный тетраэдр является ортоцентрическим.

3. Что называют средней линией тетраэдра?

4. Каким свойством обладают средние линии тетраэдра?

5. Что называют медианой тетраэдра?

6. Каким свойством обладают медианы тетраэдра?

7. Какой тетраэдр называют равногранным?

8. Сформулируйте свойства равногранного тетраэдра.

9. Сформулируйте теорему Менелая для тетраэдра.

1. Ортоцентрическим называют тетраэдр, у которого все четыре высоты (перпендикуляры, опущенные из вершин на противоположные грани) пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром тетраэдра. Ответ: Тетраэдр, у которого все высоты пересекаются в одной точке.

2. Достаточным (а также необходимым) условием того, что тетраэдр является ортоцентрическим, является перпендикулярность его скрещивающихся (противоположных) рёбер. Для тетраэдра $ABCD$ это означает, что $AB \perp CD$, $AC \perp BD$ и $AD \perp BC$. Ответ: Противоположные рёбра тетраэдра должны быть взаимно перпендикулярны.

3. Средней линией (или бимедианой) тетраэдра называют отрезок, который соединяет середины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра. У любого тетраэдра есть три средние линии. Ответ: Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра.

4. Все три средние линии тетраэдра пересекаются в одной точке, которая является центром тяжести (центроидом) тетраэдра. Эта точка делит каждую среднюю линию пополам. Ответ: Все три средние линии тетраэдра пересекаются в одной точке (центроиде тетраэдра) и делятся этой точкой пополам.

5. Медианой тетраэдра называют отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом (точкой пересечения медиан) противоположной грани. У тетраэдра есть четыре медианы. Ответ: Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противоположной грани.

6. Все четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке — центроиде тетраэдра. Эта точка делит каждую медиану в отношении 3:1, считая от вершины. Ответ: Все четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке (центроиде тетраэдра) и делятся ею в отношении 3:1, считая от вершины.

7. Равногранным называют тетраэдр, у которого все четыре грани являются равными (конгруэнтными) друг другу треугольниками. Ответ: Тетраэдр, у которого все грани — равные между собой треугольники.

8. Равногранный тетраэдр обладает следующими свойствами: все его грани — равные между собой треугольники; скрещивающиеся рёбра попарно равны; суммы плоских углов при каждой вершине равны $180^\circ$; средние линии попарно перпендикулярны; центры вписанной и описанной сфер совпадают с центроидом тетраэдра; все четыре высоты тетраэдра равны. Ответ: Свойствами равногранного тетраэдра являются: равенство противоположных рёбер, равенство площадей и периметров всех граней, совпадение центроида с центрами вписанной и описанной сфер, перпендикулярность средних линий.

9. Теорема Менелая для тетраэдра: Пусть дан тетраэдр $ABCD$. Плоскость $\pi$ пересекает прямые, содержащие рёбра $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ в точках $P$, $Q$, $R$ и $S$ соответственно, не совпадающих с вершинами тетраэдра. Тогда для отношений длин направленных отрезков выполняется равенство: $ \frac{AP}{PB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RD} \cdot \frac{DS}{SA} = 1 $. Ответ: Если плоскость пересекает прямые, содержащие рёбра $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ тетраэдра $ABCD$ в точках $P$, $Q$, $R$, $S$ соответственно, то выполняется равенство $ \frac{AP}{PB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RD} \cdot \frac{DS}{SA} = 1 $.