Страница 240 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. Какой тетраэдр называют ортоцентрическим?

2. Сформулируйте достаточное условие того, что данный тетраэдр является ортоцентрическим.

3. Что называют средней линией тетраэдра?

4. Каким свойством обладают средние линии тетраэдра?

5. Что называют медианой тетраэдра?

6. Каким свойством обладают медианы тетраэдра?

7. Какой тетраэдр называют равногранным?

8. Сформулируйте свойства равногранного тетраэдра.

9. Сформулируйте теорему Менелая для тетраэдра.

1. Ортоцентрическим называют тетраэдр, у которого все четыре высоты (перпендикуляры, опущенные из вершин на противоположные грани) пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром тетраэдра. Ответ: Тетраэдр, у которого все высоты пересекаются в одной точке.

2. Достаточным (а также необходимым) условием того, что тетраэдр является ортоцентрическим, является перпендикулярность его скрещивающихся (противоположных) рёбер. Для тетраэдра $ABCD$ это означает, что $AB \perp CD$, $AC \perp BD$ и $AD \perp BC$. Ответ: Противоположные рёбра тетраэдра должны быть взаимно перпендикулярны.

3. Средней линией (или бимедианой) тетраэдра называют отрезок, который соединяет середины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра. У любого тетраэдра есть три средние линии. Ответ: Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра.

4. Все три средние линии тетраэдра пересекаются в одной точке, которая является центром тяжести (центроидом) тетраэдра. Эта точка делит каждую среднюю линию пополам. Ответ: Все три средние линии тетраэдра пересекаются в одной точке (центроиде тетраэдра) и делятся этой точкой пополам.

5. Медианой тетраэдра называют отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом (точкой пересечения медиан) противоположной грани. У тетраэдра есть четыре медианы. Ответ: Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противоположной грани.

6. Все четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке — центроиде тетраэдра. Эта точка делит каждую медиану в отношении 3:1, считая от вершины. Ответ: Все четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке (центроиде тетраэдра) и делятся ею в отношении 3:1, считая от вершины.

7. Равногранным называют тетраэдр, у которого все четыре грани являются равными (конгруэнтными) друг другу треугольниками. Ответ: Тетраэдр, у которого все грани — равные между собой треугольники.

8. Равногранный тетраэдр обладает следующими свойствами: все его грани — равные между собой треугольники; скрещивающиеся рёбра попарно равны; суммы плоских углов при каждой вершине равны $180^\circ$; средние линии попарно перпендикулярны; центры вписанной и описанной сфер совпадают с центроидом тетраэдра; все четыре высоты тетраэдра равны. Ответ: Свойствами равногранного тетраэдра являются: равенство противоположных рёбер, равенство площадей и периметров всех граней, совпадение центроида с центрами вписанной и описанной сфер, перпендикулярность средних линий.

9. Теорема Менелая для тетраэдра: Пусть дан тетраэдр $ABCD$. Плоскость $\pi$ пересекает прямые, содержащие рёбра $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ в точках $P$, $Q$, $R$ и $S$ соответственно, не совпадающих с вершинами тетраэдра. Тогда для отношений длин направленных отрезков выполняется равенство: $ \frac{AP}{PB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RD} \cdot \frac{DS}{SA} = 1 $. Ответ: Если плоскость пересекает прямые, содержащие рёбра $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ тетраэдра $ABCD$ в точках $P$, $Q$, $R$, $S$ соответственно, то выполняется равенство $ \frac{AP}{PB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RD} \cdot \frac{DS}{SA} = 1 $.

23.1. Докажите, что правильная треугольная пирамида является ортоцентрическим тетраэдром.

Тетраэдр называется ортоцентрическим, если все его четыре высоты (перпендикуляры, опущенные из вершин на противоположные грани) пересекаются в одной точке. Одним из критериев ортоцентрического тетраэдра является попарная перпендикулярность его противоположных ребер. Чтобы доказать, что правильная треугольная пирамида является ортоцентрическим тетраэдром, достаточно показать, что ее противоположные ребра перпендикулярны.

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду $SABC$. По определению, ее основание $ABC$ — правильный (равносторонний) треугольник, а вершина $S$ проецируется в центр основания $O$. Из этого следует, что боковые ребра пирамиды равны ($SA = SB = SC$), а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Докажем перпендикулярность одной пары противоположных ребер, например, ребра $SA$ и ребра $BC$.

Пусть $M$ — середина ребра $BC$.

В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник $ABC$. В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к стороне, является также и высотой. Следовательно, медиана $AM$ перпендикулярна стороне $BC$, то есть $AM \perp BC$.

Рассмотрим боковую грань $SBC$. Так как пирамида правильная, ее боковые ребра равны, $SB = SC$. Значит, треугольник $SBC$ — равнобедренный с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, медиана $SM$ перпендикулярна основанию $BC$, то есть $SM \perp BC$.

Итак, мы имеем, что ребро $BC$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым $AM$ и $SM$. Эти прямые лежат в плоскости $(SAM)$. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Таким образом, ребро $BC$ перпендикулярно плоскости $(SAM)$.

Ребро $SA$ принадлежит плоскости $(SAM)$. По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отсюда следует, что $BC \perp SA$.

В силу симметрии правильной пирамиды, аналогичные рассуждения можно провести и для других пар противоположных ребер:

• $SB \perp AC$ (рассматривая плоскость, проходящую через ребро $SB$ и медиану основания $BN$, где $N$ — середина $AC$)
• $SC \perp AB$ (рассматривая плоскость, проходящую через ребро $SC$ и медиану основания $CK$, где $K$ — середина $AB$)

Поскольку все три пары противоположных ребер ($SA$ и $BC$, $SB$ и $AC$, $SC$ и $AB$) правильной треугольной пирамиды попарно перпендикулярны, она удовлетворяет критерию ортоцентрического тетраэдра.

Ответ: Утверждение доказано. Правильная треугольная пирамида является ортоцентрическим тетраэдром, так как ее противоположные ребра попарно перпендикулярны.

23.2. Докажите, что если в ортоцентрическом тетраэдре точка пересечения высот совпадает с центроидом тетраэдра, то такой тетраэдр является правильным.

23.2.

Пусть $A, B, C, D$ — вершины ортоцентрического тетраэдра. Пусть $G$ — его центроид, а $H$ — ортоцентр. По условию задачи, $G$ и $H$ совпадают. Поместим начало координат $O$ в эту общую точку $G=H$. Положение вершин тетраэдра зададим радиус-векторами $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$.

Поскольку начало координат совпадает с центроидом $G$, радиус-вектор центроида равен нулю: $\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4} = \vec{0}$ Отсюда следует, что сумма радиус-векторов вершин равна нулю: $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = \vec{0}$ (1)

Поскольку начало координат совпадает с ортоцентром $H$, высота, опущенная из любой вершины на противоположную грань, проходит через начало координат. Например, высота из вершины $D$ на грань $ABC$ содержит вектор $\vec{d}$. Это означает, что вектор $\vec{d}$ перпендикулярен плоскости грани $ABC$. Следовательно, вектор $\vec{d}$ перпендикулярен любым векторам, лежащим в этой плоскости, в частности, $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ и $\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a}$. Запишем это условие в виде скалярных произведений: $\vec{d} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 0 \implies \vec{d} \cdot \vec{b} = \vec{d} \cdot \vec{a}$ $\vec{d} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0 \implies \vec{d} \cdot \vec{c} = \vec{d} \cdot \vec{a}$

Проводя аналогичные рассуждения для высот, опущенных из вершин $A, B, C$, мы устанавливаем, что скалярное произведение векторов любых двух различных вершин одинаково. Обозначим это общее значение скалярного произведения буквой $k$: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{d} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{d} = \vec{c} \cdot \vec{d} = k$

Теперь воспользуемся равенством (1). Умножим его скалярно на вектор $\vec{a}$: $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) = \vec{a} \cdot \vec{0} = 0$ $|\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{d} = 0$ Подставляя значение $k$, получаем: $|\vec{a}|^2 + k + k + k = 0$ $|\vec{a}|^2 + 3k = 0 \implies |\vec{a}|^2 = -3k$

Аналогично, умножая скалярно равенство (1) на $\vec{b}, \vec{c}$ и $\vec{d}$, мы получим, что квадраты длин всех радиус-векторов вершин равны: $|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 = |\vec{d}|^2 = -3k$ Это означает, что все вершины тетраэдра равноудалены от точки $O$, то есть $O$ является центром описанной сферы.

Наконец, найдем квадраты длин ребер тетраэдра. Для ребра $AB$ имеем: $|\vec{AB}|^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2 = (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{a}|^2$ Подставляя найденные выражения для квадратов длин и скалярного произведения, получаем: $|\vec{AB}|^2 = (-3k) - 2k + (-3k) = -8k$

Так как этот результат зависит только от $k$, которое одинаково для любой пары вершин, то квадраты длин всех шести ребер тетраэдра равны $-8k$. Следовательно, все ребра тетраэдра имеют одинаковую длину. Тетраэдр, у которого все ребра равны, является правильным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.