gdz.top
Страница 233 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков
Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М., Номировский Д. А.
Тип: Учебник
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: зелёный, салатовый
ISBN: 978-5-360 07805-0
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Cтраница 233
Страница 232
№22.19 (с. 233)
Условие. №22.19 (с. 233)
22.19. В треугольнике $ABC$ биссектриса $AD$ делит сторону $BC$ в отношении $BD : DC = 2 : 1$. В каком отношении, считая от вершины $A$, медиана $CE$ делит эту биссектрису?
Решение. №22.19 (с. 233)
Решение 2. №22.19 (с. 233)
Пусть в треугольнике $ABC$ биссектриса $AD$ и медиана $CE$ пересекаются в точке $O$.
1. По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для биссектрисы $AD$ треугольника $ABC$ это означает:$ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} $Из условия задачи нам дано, что $BD : DC = 2 : 1$. Следовательно:$ \frac{AB}{AC} = \frac{2}{1} $, откуда $AB = 2 \cdot AC$.
2. $CE$ — медиана, проведенная к стороне $AB$. По определению медианы, точка $E$ является серединой стороны $AB$. Таким образом:$AE = EB = \frac{1}{2}AB$.
3. Для нахождения искомого отношения $AO : OD$ применим теорему Менелая для треугольника $ABD$ и секущей (трансверсали) $EOC$. Точки $E$, $O$, $C$ лежат на одной прямой. Эта прямая пересекает сторону $AB$ в точке $E$, сторону $AD$ в точке $O$ и продолжение стороны $BD$ в точке $C$.
Согласно теореме Менелая:$ \frac{AE}{EB} \cdot \frac{BC}{CD} \cdot \frac{DO}{OA} = 1 $
4. Найдем значения отношений, входящих в эту формулу:
- Так как $E$ — середина $AB$, то $AE = EB$, и отношение $ \frac{AE}{EB} = 1 $.
- Из условия $BD : DC = 2 : 1$, мы можем выразить $BD = 2 \cdot DC$. Тогда вся сторона $BC = BD + DC = 2 \cdot DC + DC = 3 \cdot DC$. Отсюда находим отношение $ \frac{BC}{CD} = \frac{3 \cdot DC}{DC} = 3 $.
5. Подставим найденные значения в формулу теоремы Менелая:$ 1 \cdot 3 \cdot \frac{DO}{OA} = 1 $$ 3 \cdot \frac{DO}{OA} = 1 $$ \frac{DO}{OA} = \frac{1}{3} $
Это означает, что отношение $OA$ к $DO$ равно $3$ к $1$. Вопрос задачи — найти отношение, считая от вершины $A$, то есть $AO : OD$.$ \frac{AO}{OD} = \frac{3}{1} $
Ответ: $3:1$.
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.