Страница 229 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.54. Стороны параллелограмма равны 3 см и 1 см, а угол между диагоналями равен $45^\circ$. Найдите площадь параллелограмма.

Обозначим стороны параллелограмма как $a = 3$ см и $b = 1$ см. Пусть диагонали параллелограмма равны $d_1$ и $d_2$, а угол между ними $γ = 45°$.

Площадь параллелограмма можно найти по формуле через его диагонали:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\gamma)$

Чтобы использовать эту формулу, нам необходимо найти произведение длин диагоналей $d_1 d_2$.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Они разбивают параллелограмм на четыре треугольника. Рассмотрим два смежных треугольника, образованных сторонами параллелограмма $a$ и $b$ и половинами диагоналей.

Первый треугольник имеет стороны $\frac{d_1}{2}$, $\frac{d_2}{2}$ и $a=3$.
Второй треугольник имеет стороны $\frac{d_1}{2}$, $\frac{d_2}{2}$ и $b=1$.

Углы между сторонами $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$ в этих треугольниках являются смежными, то есть один равен $45°$, а другой $180° - 45° = 135°$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Следовательно, угол $135°$ лежит в треугольнике со стороной $a=3$, а угол $45°$ — в треугольнике со стороной $b=1$.

Применим теорему косинусов для каждого из этих треугольников:
1) Для треугольника со стороной $a=3$:
$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cos(135^\circ)$
$3^2 = \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} - \frac{d_1 d_2}{2} (-\frac{\sqrt{2}}{2})$
$9 = \frac{d_1^2 + d_2^2}{4} + \frac{d_1 d_2 \sqrt{2}}{4}$
Умножим обе части на 4:
$36 = d_1^2 + d_2^2 + d_1 d_2 \sqrt{2}$ (1)

2) Для треугольника со стороной $b=1$:
$b^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cos(45^\circ)$
$1^2 = \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} - \frac{d_1 d_2}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2})$
$1 = \frac{d_1^2 + d_2^2}{4} - \frac{d_1 d_2 \sqrt{2}}{4}$
Умножим обе части на 4:
$4 = d_1^2 + d_2^2 - d_1 d_2 \sqrt{2}$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($d_1^2 + d_2^2$ и $d_1 d_2$). Вычтем из уравнения (1) уравнение (2):
$(d_1^2 + d_2^2 + d_1 d_2 \sqrt{2}) - (d_1^2 + d_2^2 - d_1 d_2 \sqrt{2}) = 36 - 4$
$2 d_1 d_2 \sqrt{2} = 32$
$d_1 d_2 = \frac{32}{2\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$

Мы нашли произведение диагоналей. Теперь можем вычислить площадь параллелограмма:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\gamma) = \frac{1}{2} (8\sqrt{2}) \sin(45^\circ)$
Так как $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$S = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{8 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})}{4} = \frac{8 \cdot 2}{4} = \frac{16}{4} = 4$

Площадь параллелограмма равна 4 см².
Ответ: 4 см².

21.55. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 25$ см, $AC = 14$ см. К окружности, вписанной в данный треугольник, проведена касательная, параллельная основанию $AC$ и пересекающая стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Найдите площадь треугольника $MBK$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC = 25$ см, он является равнобедренным с основанием $AC = 14$ см.

1. Найдем площадь треугольника $ABC$.
Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, точка $H$ делит основание $AC$ пополам:$AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{14}{2} = 7$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. По теореме Пифагора найдем высоту $BH$:
$BH^2 + HC^2 = BC^2$
$BH^2 + 7^2 = 25^2$
$BH^2 + 49 = 625$
$BH^2 = 625 - 49 = 576$
$BH = \sqrt{576} = 24$ см.

Площадь треугольника $ABC$ равна:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 24 = 7 \cdot 24 = 168$ см$^2$.

2. Найдем коэффициент подобия треугольников $MBK$ и $ABC$.
По условию, касательная $MK$ параллельна основанию $AC$. Следовательно, треугольник $MBK$ подобен треугольнику $ABC$ ($△MBK \sim △ABC$) по двум углам (угол $B$ — общий, $\angle BMK = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MK$ и $AC$ и секущей $AB$).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$:
$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}} = k^2$

Коэффициент подобия можно найти как отношение периметров этих треугольников: $k = \frac{P_{MBK}}{P_{ABC}}$.

Периметр треугольника $ABC$:
$P_{ABC} = AB + BC + AC = 25 + 25 + 14 = 64$ см.

Чтобы найти периметр треугольника $MBK$, воспользуемся свойством касательной к вписанной окружности, параллельной стороне. Пусть вписанная окружность касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Тогда периметр отсеченного треугольника $MBK$ равен длине отрезков касательных от вершины $B$ до точек касания: $P_{MBK} = BP + BQ$.

Найдем длину отрезка $BP$. Длина касательной, проведенной из вершины треугольника к вписанной окружности, равна разности полупериметра и противолежащей стороны.Полупериметр $p_{ABC} = \frac{P_{ABC}}{2} = \frac{64}{2} = 32$ см.$BP = p_{ABC} - AC = 32 - 14 = 18$ см.

Так как треугольник равнобедренный, $BP = BQ = 18$ см.Тогда периметр треугольника $MBK$ равен:
$P_{MBK} = BP + BQ = 18 + 18 = 36$ см.

Теперь найдем коэффициент подобия:
$k = \frac{P_{MBK}}{P_{ABC}} = \frac{36}{64}$. Сократим дробь на 4: $k = \frac{9}{16}$.

3. Найдем площадь треугольника $MBK$.
$S_{MBK} = S_{ABC} \cdot k^2 = 168 \cdot \left(\frac{9}{16}\right)^2 = 168 \cdot \frac{81}{256}$.

Сократим выражение. Разделим 168 и 256 на 8:
$S_{MBK} = \frac{168 \cdot 81}{256} = \frac{(21 \cdot 8) \cdot 81}{32 \cdot 8} = \frac{21 \cdot 81}{32} = \frac{1701}{32}$.

Можно выразить ответ в виде смешанной дроби: $1701 \div 32 = 53$ (остаток 5).$S_{MBK} = 53\frac{5}{32}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{1701}{32}$ см$^2$ (или $53\frac{5}{32}$ см$^2$).