Номер 21.55, страница 229 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.55. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 25$ см, $AC = 14$ см. К окружности, вписанной в данный треугольник, проведена касательная, параллельная основанию $AC$ и пересекающая стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Найдите площадь треугольника $MBK$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC = 25$ см, он является равнобедренным с основанием $AC = 14$ см.

1. Найдем площадь треугольника $ABC$.
Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, точка $H$ делит основание $AC$ пополам:$AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{14}{2} = 7$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. По теореме Пифагора найдем высоту $BH$:
$BH^2 + HC^2 = BC^2$
$BH^2 + 7^2 = 25^2$
$BH^2 + 49 = 625$
$BH^2 = 625 - 49 = 576$
$BH = \sqrt{576} = 24$ см.

Площадь треугольника $ABC$ равна:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 24 = 7 \cdot 24 = 168$ см$^2$.

2. Найдем коэффициент подобия треугольников $MBK$ и $ABC$.
По условию, касательная $MK$ параллельна основанию $AC$. Следовательно, треугольник $MBK$ подобен треугольнику $ABC$ ($△MBK \sim △ABC$) по двум углам (угол $B$ — общий, $\angle BMK = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MK$ и $AC$ и секущей $AB$).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$:
$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}} = k^2$

Коэффициент подобия можно найти как отношение периметров этих треугольников: $k = \frac{P_{MBK}}{P_{ABC}}$.

Периметр треугольника $ABC$:
$P_{ABC} = AB + BC + AC = 25 + 25 + 14 = 64$ см.

Чтобы найти периметр треугольника $MBK$, воспользуемся свойством касательной к вписанной окружности, параллельной стороне. Пусть вписанная окружность касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Тогда периметр отсеченного треугольника $MBK$ равен длине отрезков касательных от вершины $B$ до точек касания: $P_{MBK} = BP + BQ$.

Найдем длину отрезка $BP$. Длина касательной, проведенной из вершины треугольника к вписанной окружности, равна разности полупериметра и противолежащей стороны.Полупериметр $p_{ABC} = \frac{P_{ABC}}{2} = \frac{64}{2} = 32$ см.$BP = p_{ABC} - AC = 32 - 14 = 18$ см.

Так как треугольник равнобедренный, $BP = BQ = 18$ см.Тогда периметр треугольника $MBK$ равен:
$P_{MBK} = BP + BQ = 18 + 18 = 36$ см.

Теперь найдем коэффициент подобия:
$k = \frac{P_{MBK}}{P_{ABC}} = \frac{36}{64}$. Сократим дробь на 4: $k = \frac{9}{16}$.

3. Найдем площадь треугольника $MBK$.
$S_{MBK} = S_{ABC} \cdot k^2 = 168 \cdot \left(\frac{9}{16}\right)^2 = 168 \cdot \frac{81}{256}$.

Сократим выражение. Разделим 168 и 256 на 8:
$S_{MBK} = \frac{168 \cdot 81}{256} = \frac{(21 \cdot 8) \cdot 81}{32 \cdot 8} = \frac{21 \cdot 81}{32} = \frac{1701}{32}$.

Можно выразить ответ в виде смешанной дроби: $1701 \div 32 = 53$ (остаток 5).$S_{MBK} = 53\frac{5}{32}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{1701}{32}$ см$^2$ (или $53\frac{5}{32}$ см$^2$).