Номер 21.49, страница 228 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.49. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно $b$, а плоский угол при вершине пирамиды равен $\alpha$. Все вершины пирамиды равноудалены от некоторой плоскости $\pi$. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $\pi$.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. По условию, боковое ребро равно $b$, то есть $SA = SB = SC = SD = b$, а плоский угол при вершине равен $\alpha$, то есть $\angle ASB = \alpha$.

Все пять вершин пирамиды ($S, A, B, C, D$) равноудалены от некоторой плоскости $\pi$. Рассмотрим вершины основания $A, B, C, D$. Они лежат в одной плоскости (плоскости основания). Если несколько точек, лежащих в одной плоскости, равноудалены от другой плоскости $\pi$, то плоскость, содержащая эти точки, должна быть параллельна плоскости $\pi$. В противном случае, если бы эти плоскости пересекались, точки не были бы равноудалены. Следовательно, плоскость основания $ABCD$ параллельна плоскости $\pi$.

Пусть $H$ — высота пирамиды. Плоскость $\pi$ параллельна основанию, значит, она находится на некотором расстоянии $d$ от него. Вершина $S$ находится на расстоянии $H$ от основания. Так как все вершины равноудалены от плоскости $\pi$, то вершина $S$ и вершины основания должны находиться по разные стороны от $\pi$. Расстояние от вершин основания до $\pi$ равно $d$, а расстояние от вершины $S$ до $\pi$ равно $H-d$. Из условия равенства расстояний получаем: $d = H-d$, откуда $2d = H$, то есть $d = \frac{H}{2}$.

Таким образом, секущая плоскость $\pi$ параллельна основанию пирамиды и проходит через середину ее высоты. Сечением в этом случае является квадрат, подобный основанию. Коэффициент подобия между отсекаемой верхней пирамидой и исходной пирамидой равен отношению их высот: $k = \frac{H/2}{H} = \frac{1}{2}$.

Площадь сечения $S_{\text{сеч}}$ и площадь основания $S_{\text{осн}}$ связаны соотношением $S_{\text{сеч}} = k^2 \cdot S_{\text{осн}} = (\frac{1}{2})^2 S_{\text{осн}} = \frac{1}{4} S_{\text{осн}}$.

Найдем площадь основания. Основание $ABCD$ — квадрат со стороной $a$. Значит, $S_{\text{осн}} = a^2$. Сторону $a$ найдем, рассмотрев боковую грань — равнобедренный треугольник $SAB$. В этом треугольнике $SA = SB = b$ и угол между ними $\angle ASB = \alpha$. По теореме косинусов:

$a^2 = AB^2 = SA^2 + SB^2 - 2 \cdot SA \cdot SB \cdot \cos(\alpha) = b^2 + b^2 - 2b^2 \cos(\alpha) = 2b^2(1 - \cos(\alpha))$.

Используя формулу половинного угла $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем для площади основания:

$S_{\text{осн}} = a^2 = 2b^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4b^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь можем найти площадь сечения:

$S_{\text{сеч}} = \frac{1}{4} S_{\text{осн}} = \frac{1}{4} \left(4b^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})\right) = b^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$.

Ответ: $b^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$.