Номер 21.44, страница 228 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.44. Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды $MABCDEF$ равна $S$. Угол между прямой $AB$ и плоскостью $BMC$ равен $\alpha$. Найдите площадь основания пирамиды.

Пусть $MABCDEF$ – правильная шестиугольная пирамида. $M$ – вершина, $ABCDEF$ – основание. Пусть $O$ – центр основания. Обозначим сторону основания за $a$, а апофему боковой грани (например, высоту $MK$ треугольника $MBC$) за $h_a$.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей шести равных треугольников (боковых граней):

$S_{бок} = 6 \cdot S_{\triangle MBC} = 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MK = 3 a h_a$

По условию $S_{бок} = S$, следовательно, $S = 3 a h_a$.

Площадь основания $S_{осн}$ правильного шестиугольника со стороной $a$ равна:

$S_{осн} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

Наша цель — найти $S_{осн}$, для этого нужно выразить $a^2$ через известные величины.

Угол $\alpha$ между прямой $AB$ и плоскостью $BMC$ – это угол между прямой $AB$ и ее проекцией на плоскость $BMC$. Построим этот угол.

1. Из точки $A$ опустим перпендикуляр $AH$ на плоскость $BMC$. Тогда отрезок $BH$ является проекцией отрезка $AB$ на плоскость $BMC$, и искомый угол $\alpha$ – это $\angle ABH$.

2. В прямоугольном треугольнике $ABH$ имеем: $\sin \alpha = \frac{AH}{AB}$. Так как $AB = a$, то $AH = a \sin \alpha$. $AH$ – это расстояние от точки $A$ до плоскости $BMC$.

Теперь найдем это расстояние другим способом, через геометрические построения.

1. Проведем в плоскости основания высоту $AP$ треугольника $ABC$ к стороне $BC$ (или ее продолжению). Поскольку основание – правильный шестиугольник, угол $\angle ABC = 120^\circ$. Тогда $P$ будет лежать на продолжении стороны $BC$ за точку $B$. В треугольнике $ABP$ угол $\angle ABP = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Длина высоты $AP$ равна:$AP = AB \sin(60^\circ) = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Двугранный угол между плоскостью основания $ABC$ и плоскостью боковой грани $BMC$ – это угол, который образует апофема $MK$ с проекцией на основание. Проекцией точки $M$ является центр $O$, проекцией отрезка $MK$ является отрезок $OK$ (апофема основания). Таким образом, двугранный угол $\varphi = \angle MKO$.

3. Рассмотрим треугольник $APH$. $AH \perp (BMC)$, и по построению $AP$ – наклонная. Так как $BC$ – линия пересечения плоскостей $ABC$ и $BMC$, и $AP \perp BC$, то по теореме о трех перпендикулярах, проекция $HP$ наклонной $AP$ на плоскость $BMC$ также перпендикулярна $BC$. Угол $\angle APH$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью, проходящей через $A$ и $BC$, и плоскостью $BMC$. Так как плоскость основания параллельна плоскости через $A$ и $BC$, то $\angle APH = \varphi = \angle MKO$.

4. В прямоугольном треугольнике $APH$ катет $AH$ связан с гипотенузой $AP$ и углом $\varphi$: $AH = AP \sin \varphi$.

Теперь мы можем приравнять два выражения для $AH$:

$a \sin \alpha = AP \sin \varphi$

Подставим значение $AP = a \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$a \sin \alpha = \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \sin \varphi$

$\sin \varphi = \frac{2}{\sqrt{3}} \sin \alpha$

Теперь свяжем угол $\varphi$ с параметрами пирамиды $a$ и $h_a$. В прямоугольном треугольнике $MOK$:$\cos \varphi = \frac{OK}{MK}$.

$OK$ – апофема правильного шестиугольника, $OK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.$MK = h_a$.

Следовательно, $\cos \varphi = \frac{a\sqrt{3}/2}{h_a} = \frac{a\sqrt{3}}{2h_a}$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\varphi + \cos^2\varphi = 1$:

$\left(\frac{2}{\sqrt{3}} \sin \alpha\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2h_a}\right)^2 = 1$

$\frac{4}{3} \sin^2 \alpha + \frac{3a^2}{4h_a^2} = 1$

$\frac{3a^2}{4h_a^2} = 1 - \frac{4}{3} \sin^2 \alpha$

Из формулы для площади боковой поверхности $S = 3ah_a$ выразим $h_a = \frac{S}{3a}$ и подставим в полученное уравнение:

$\frac{3a^2}{4(S/(3a))^2} = 1 - \frac{4}{3} \sin^2 \alpha$

$\frac{3a^2}{4S^2/(9a^2)} = 1 - \frac{4}{3} \sin^2 \alpha$

$\frac{27a^4}{4S^2} = 1 - \frac{4}{3} \sin^2 \alpha$

$a^4 = \frac{4S^2}{27} \left(1 - \frac{4}{3} \sin^2 \alpha\right)$

Теперь найдем площадь основания $S_{осн}$. Возведем формулу для $S_{осн}$ в квадрат:

$S_{осн}^2 = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\right)^2 = \frac{9 \cdot 3}{4} a^4 = \frac{27}{4} a^4$

Подставим выражение для $a^4$:

$S_{осн}^2 = \frac{27}{4} \cdot \frac{4S^2}{27} \left(1 - \frac{4}{3} \sin^2 \alpha\right) = S^2 \left(1 - \frac{4}{3} \sin^2 \alpha\right)$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$S_{осн} = S \sqrt{1 - \frac{4}{3} \sin^2 \alpha}$

Ответ: $S \sqrt{1 - \frac{4}{3} \sin^2 \alpha}$