Номер 21.42, страница 228 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.42. Сторона $AB$ и высота $MO$ правильной шестиугольной пирамиды $MABCDEF$ соответственно равны 4 см и $3\sqrt{2}$ см. Точка $K$ — середина ребра $EF$. Найдите расстояние между прямыми $MK$ и $BE$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с центром в точке $O$ — центре основания пирамиды. Ось $Oz$ направим вдоль высоты $MO$, а основание пирамиды расположим в плоскости $Oxy$. Пусть вершина $A$ лежит на положительной полуоси $Ox$.

В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $AB=4$ см. Расстояние от центра правильного шестиугольника до его вершин равно стороне шестиугольника, то есть $OA = OB = OC = OD = OE = OF = 4$ см.

Найдем координаты вершин основания. Угол между векторами, соединяющими центр с соседними вершинами, составляет $60^\circ$.

• $A = (4 \cos(0^\circ), 4 \sin(0^\circ), 0) = (4, 0, 0)$
• $B = (4 \cos(60^\circ), 4 \sin(60^\circ), 0) = (2, 2\sqrt{3}, 0)$
• $E = (4 \cos(240^\circ), 4 \sin(240^\circ), 0) = (-2, -2\sqrt{3}, 0)$
• $F = (4 \cos(300^\circ), 4 \sin(300^\circ), 0) = (2, -2\sqrt{3}, 0)$

Координаты вершины пирамиды $M$, учитывая высоту $MO = 3\sqrt{2}$ см:

• $M = (0, 0, 3\sqrt{2})$

Точка $K$ — середина ребра $EF$. Найдем ее координаты:

• $K = \left(\frac{x_E+x_F}{2}, \frac{y_E+y_F}{2}, \frac{z_E+z_F}{2}\right) = \left(\frac{-2+2}{2}, \frac{-2\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0, -2\sqrt{3}, 0)$

Теперь у нас есть все необходимое для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $MK$ и $BE$. Расстояние $d$ между двумя скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку $P_1$ с направляющим вектором $\vec{v_1}$, а вторая — через точку $P_2$ с направляющим вектором $\vec{v_2}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$

Для прямой $BE$ возьмем точку $B(2, 2\sqrt{3}, 0)$ и направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{BE}$:

$\vec{BE} = (x_E-x_B, y_E-y_B, z_E-z_B) = (-2-2, -2\sqrt{3}-2\sqrt{3}, 0-0) = (-4, -4\sqrt{3}, 0)$.

Для удобства вычислений можно взять коллинеарный вектор, разделив координаты на $-4$: $\vec{v_1'} = (1, \sqrt{3}, 0)$.

Для прямой $MK$ возьмем точку $M(0, 0, 3\sqrt{2})$ и направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{MK}$:

$\vec{v_2} = \vec{MK} = (x_K-x_M, y_K-y_M, z_K-z_M) = (0-0, -2\sqrt{3}-0, 0-3\sqrt{2}) = (0, -2\sqrt{3}, -3\sqrt{2})$.

Вектор, соединяющий точки на прямых, $\vec{P_1P_2} = \vec{BM}$:

$\vec{BM} = (x_M-x_B, y_M-y_B, z_M-z_B) = (0-2, 0-2\sqrt{3}, 3\sqrt{2}-0) = (-2, -2\sqrt{3}, 3\sqrt{2})$.

Теперь вычислим векторное произведение $\vec{v_1'} \times \vec{v_2}$:

$\vec{v_1'} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & -2\sqrt{3} & -3\sqrt{2} \end{vmatrix} = \mathbf{i}(\sqrt{3}(-3\sqrt{2}) - 0) - \mathbf{j}(1(-3\sqrt{2}) - 0) + \mathbf{k}(1(-2\sqrt{3}) - 0) = (-3\sqrt{6}, 3\sqrt{2}, -2\sqrt{3})$.

Найдем модуль этого вектора:

$|\vec{v_1'} \times \vec{v_2}| = \sqrt{(-3\sqrt{6})^2 + (3\sqrt{2})^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{54 + 18 + 12} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}$.

Вычислим смешанное произведение (скалярное произведение вектора $\vec{BM}$ на векторное произведение):

$\vec{BM} \cdot (\vec{v_1'} \times \vec{v_2}) = (-2, -2\sqrt{3}, 3\sqrt{2}) \cdot (-3\sqrt{6}, 3\sqrt{2}, -2\sqrt{3}) = (-2)(-3\sqrt{6}) + (-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}) + (3\sqrt{2})(-2\sqrt{3}) = 6\sqrt{6} - 6\sqrt{6} - 6\sqrt{6} = -6\sqrt{6}$.

Теперь можем найти искомое расстояние:

$d = \frac{|-6\sqrt{6}|}{2\sqrt{21}} = \frac{6\sqrt{6}}{2\sqrt{21}} = \frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{21}} = 3\sqrt{\frac{6}{21}} = 3\sqrt{\frac{2}{7}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{14}}{7}$ см.

Ответ: $\frac{3\sqrt{14}}{7}$ см.