Номер 21.43, страница 228 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.43. Сторона основания правильной треугольной пирамиды $DABC$ равна $a$. Прямая $AB$ образует с плоскостью $DAC$ угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть $DABC$ — данная правильная треугольная пирамида. В ее основании лежит равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Боковые грани пирамиды — равные равнобедренные треугольники. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей трех боковых граней: $S_{бок} = 3 \cdot S_{\triangle DAC}$.

Площадь грани $DAC$ вычисляется по формуле $S_{\triangle DAC} = \frac{1}{2} AC \cdot DM$, где $DM$ — апофема (высота боковой грани, опущенная на сторону основания). Так как $AC = a$, то $S_{\triangle DAC} = \frac{1}{2} a \cdot DM$. Таким образом, для нахождения площади боковой поверхности необходимо найти длину апофемы $DM$.

Угол $\alpha$ между прямой $AB$ и плоскостью $DAC$ по определению является углом между прямой $AB$ и ее проекцией на плоскость $DAC$. Построим эту проекцию. Опустим перпендикуляр $BH$ из точки $B$ на плоскость $DAC$. Тогда отрезок $AH$ будет являться проекцией прямой $AB$ на плоскость $DAC$, и $\angle BAH = \alpha$.

В прямоугольном треугольнике $ABH$ (с прямым углом $H$) катет $BH$ равен $BH = AB \cdot \sin(\angle BAH) = a \sin \alpha$. Длина отрезка $BH$ — это расстояние от точки $B$ до плоскости $DAC$.

Рассмотрим другой способ нахождения этого расстояния. Пусть $M$ — середина ребра $AC$. Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний, его медиана $BM$ также является высотой, то есть $BM \perp AC$. Длина $BM$ как высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $BM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Так как пирамида $DABC$ правильная, ее боковая грань $\triangle DAC$ является равнобедренным треугольником с основанием $AC$. Следовательно, медиана $DM$ также является высотой, то есть $DM \perp AC$.

Поскольку прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BM$ и $DM$ в плоскости $DBM$, то прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $DBM$. Из этого следует, что плоскость $DAC$, содержащая прямую $AC$, перпендикулярна плоскости $DBM$.

Так как плоскости $DAC$ и $DBM$ взаимно перпендикулярны, то перпендикуляр, опущенный из точки $B$ (лежащей в плоскости $DBM$) на плоскость $DAC$, будет лежать в плоскости $DBM$ и будет перпендикулярен линии их пересечения, то есть прямой $DM$. Таким образом, высота $BK$ треугольника $DBM$, проведенная из вершины $B$ к стороне $DM$, и есть искомое расстояние от точки $B$ до плоскости $DAC$.

Следовательно, $BK = BH = a \sin \alpha$.

Теперь рассмотрим треугольник $DBM$. Пусть $\beta = \angle DMB$ — это двугранный угол при ребре основания $AC$. В прямоугольном треугольнике $BKM$ (с прямым углом $K$) имеем: $\sin \beta = \frac{BK}{BM} = \frac{a \sin \alpha}{a\sqrt{3}/2} = \frac{2 \sin \alpha}{\sqrt{3}}$.

Найдем косинус угла $\beta$. Из основного тригонометрического тождества $\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta$, получаем:$\cos^2 \beta = 1 - \left(\frac{2 \sin \alpha}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{4 \sin^2 \alpha}{3} = \frac{3 - 4 \sin^2 \alpha}{3}$.Тогда $\cos \beta = \sqrt{\frac{3 - 4 \sin^2 \alpha}{3}} = \frac{\sqrt{3 - 4 \sin^2 \alpha}}{\sqrt{3}}$. (Угол $\beta$ острый, так как это угол в прямоугольном треугольнике $DOM$).

Пусть $O$ — центр основания $ABC$ (точка пересечения медиан). $DO$ — высота пирамиды. Точка $O$ лежит на медиане $BM$ и делит ее в отношении $2:1$, считая от вершины. Таким образом, $OM = \frac{1}{3} BM = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DOM$ (с прямым углом $O$). В нем катет $OM$ и гипотенуза $DM$ связаны через угол $\beta$: $\cos \beta = \frac{OM}{DM}$.Отсюда выразим апофему $DM$: $DM = \frac{OM}{\cos \beta} = \frac{a\sqrt{3}/6}{\sqrt{3 - 4 \sin^2 \alpha}/\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3 - 4 \sin^2 \alpha}} = \frac{3a}{6\sqrt{3 - 4 \sin^2 \alpha}} = \frac{a}{2\sqrt{3 - 4 \sin^2 \alpha}}$.

Наконец, найдем площадь боковой поверхности пирамиды:$S_{бок} = 3 \cdot S_{\triangle DAC} = 3 \cdot \frac{1}{2} a \cdot DM = \frac{3a}{2} \cdot \frac{a}{2\sqrt{3 - 4 \sin^2 \alpha}} = \frac{3a^2}{4\sqrt{3 - 4 \sin^2 \alpha}}$.

Ответ: $\frac{3a^2}{4\sqrt{3 - 4 \sin^2 \alpha}}$