Номер 21.46, страница 228 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.46. Основанием пирамиды является равносторонний треугольник, сторона которого равна $10\sqrt{3}$ см. Высота пирамиды равна 12 см. Боковые грани пирамиды являются равновеликими треугольниками. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей ее боковых граней. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник со стороной $a = 10\sqrt{3}$ см. Боковые грани являются равновеликими треугольниками, то есть имеют равные площади. Поскольку основания этих треугольников (стороны основания пирамиды) равны, то и их высоты, проведенные из вершины пирамиды, должны быть равны. Эти высоты называются апофемами пирамиды.

Если все апофемы пирамиды равны, то ее вершина проецируется в центр вписанной в основание окружности. Для равностороннего треугольника центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности и является точкой пересечения медиан, высот и биссектрис.

1. Найдем радиус $r$ окружности, вписанной в треугольник основания. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим значение стороны $a = 10\sqrt{3}$ см:

$r = \frac{10\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 5$ см.

2. Теперь мы можем найти апофему пирамиды (высоту боковой грани). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $r$ и апофемой $l$. В этом треугольнике $H$ и $r$ являются катетами, а апофема $l$ — гипотенузой.

По условию, высота пирамиды $H = 12$ см. Используя теорему Пифагора, найдем апофему $l$:

$l^2 = H^2 + r^2$

$l^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$

$l = \sqrt{169} = 13$ см.

3. Площадь одной боковой грани $S_{грани}$ равна половине произведения ее основания (стороны треугольника в основании пирамиды) на высоту (апофему):

$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l$

$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{3} \cdot 13 = 5\sqrt{3} \cdot 13 = 65\sqrt{3} \text{ см}^2$.

4. Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей трех одинаковых боковых граней:

$S_{бок} = 3 \cdot S_{грани} = 3 \cdot 65\sqrt{3} = 195\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $195\sqrt{3} \text{ см}^2$.