Номер 21.52, страница 228 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.52. Ребро правильного тетраэдра $DABC$ равно 1 см. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности тетраэдра между серединами рёбер $AB$ и $CD$.

Для нахождения кратчайшего пути по поверхности многогранника необходимо сделать его развёртку. Кратчайшим путём между двумя точками на развёртке будет длина отрезка прямой, соединяющего эти точки.

Пусть дан правильный тетраэдр $DABC$ с ребром $a=1$ см. Обозначим $M$ — середину ребра $AB$, а $N$ — середину ребра $CD$. Рёбра $AB$ и $CD$ являются скрещивающимися.

Путь от точки $M$ до точки $N$ должен пересечь по крайней мере одно ребро тетраэдра. Рассмотрим путь, который пересекает ребро $AC$. Этот путь проходит по граням $ABC$ и $ACD$.

Чтобы найти длину этого пути, развернём тетраэдр, расположив грани $ABC$ и $ACD$ в одной плоскости. Для этого мы можем "развернуть" грань $ACD$ вокруг их общего ребра $AC$. В результате получим плоскую фигуру, состоящую из двух равносторонних треугольников $ABC$ и $ACD'$, где $D'$ — новое положение вершины $D$.

Эта фигура представляет собой четырёхугольник $ABCD'$, у которого все стороны равны 1 см ($AB=BC=CD'=D'A=1$ см), и одна из диагоналей также равна 1 см ($AC=1$ см).

Теперь найдём длину отрезка $MN$ на этой развёртке. Для этого введём систему координат. Поместим вершину $A$ в начало координат, а вершину $C$ — на ось $Ox$.

• Координаты вершины $A$: $(0, 0)$.
• Координаты вершины $C$: $(1, 0)$.

Поскольку треугольники $ABC$ и $ACD'$ равносторонние со стороной 1, их вершины $B$ и $D'$ будут иметь следующие координаты:

• Координаты вершины $B$: $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
• Координаты вершины $D'$: $(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Точка $M$ является серединой ребра $AB$. Найдём её координаты:

$M = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right) = \left(\frac{0+1/2}{2}, \frac{0+\sqrt{3}/2}{2}\right) = \left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$.

Точка $N$ является серединой ребра $CD'$. Найдём её координаты:

$N = \left(\frac{x_C+x_{D'}}{2}, \frac{y_C+y_{D'}}{2}\right) = \left(\frac{1+1/2}{2}, \frac{0-\sqrt{3}/2}{2}\right) = \left(\frac{3}{4}, -\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$.

Теперь вычислим расстояние между точками $M$ и $N$ по формуле расстояния между двумя точками на плоскости:

$|MN| = \sqrt{(x_N-x_M)^2 + (y_N-y_M)^2}$

$|MN| = \sqrt{\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{2}{4}\right)^2 + \left(-\frac{2\sqrt{3}}{4}\right)^2}$

$|MN| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$ см.

В силу симметрии правильного тетраэдра, любой другой кратчайший путь, проходящий через одно ребро (например, через $BC$, $AD$ или $BD$), будет иметь такую же длину. Пути, пересекающие большее число рёбер, будут длиннее.

Ответ: 1 см.