Номер 21.51, страница 228 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.51. Ребро правильного тетраэдра $DABC$ равно 1 см. На рёбрах $AB$ и $AC$ соответственно отметили точки $K$ и $M$. Докажите, что периметр треугольника $DKM$ больше 2 см.

Для решения задачи воспользуемся методом развертки. Рассмотрим развертку трех граней тетраэдра, на которых лежат отрезки, образующие периметр треугольника $DKM$: это грани $DAB$ (для отрезка $DK$), $ABC$ (для отрезка $KM$) и $DAC$ (для отрезка $MD$).

1. Разместим треугольник $ABC$ на плоскости. Так как тетраэдр правильный, $ABC$ — равносторонний треугольник со стороной 1 см.

2. "Развернем" грань $DAB$, повернув ее вокруг ребра $AB$ так, чтобы она оказалась в одной плоскости с треугольником $ABC$. Вершина $D$ при этом перейдет в точку $D_1$. Треугольник $D_1AB$ будет равен треугольнику $DAB$, то есть это равносторонний треугольник со стороной 1 см.

3. Аналогично "развернем" грань $DAC$, повернув ее вокруг ребра $AC$ в ту же плоскость. Вершина $D$ перейдет в точку $D_2$. Треугольник $D_2AC$ будет равен треугольнику $DAC$, то есть это также равносторонний треугольник со стороной 1 см.

На полученной плоской развертке длины отрезков, лежащих на соответствующих гранях, сохраняются. Таким образом:

• Длина отрезка $DK$ в пространстве равна длине отрезка $D_1K$ на плоскости.
• Длина отрезка $KM$ в пространстве равна длине отрезка $KM$ на плоскости, так как точки $K$ и $M$ изначально лежат в плоскости грани $ABC$.
• Длина отрезка $MD$ в пространстве равна длине отрезка $MD_2$ на плоскости.

Периметр треугольника $DKM$, который мы ищем, равен $P = DK + KM + MD$. На развертке этот периметр представляет собой длину ломаной линии $D_1KMD_2$.$P = D_1K + KM + MD_2$.

Согласно свойству кратчайшего расстояния между двумя точками, длина ломаной линии не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы. Следовательно:$P = D_1K + KM + MD_2 \ge D_1D_2$.

Теперь найдем длину отрезка $D_1D_2$. На нашей развертке три равносторонних треугольника ($D_1AB$, $ABC$ и $ACD_2$) имеют общую вершину $A$. Угол $\angle D_1AD_2$ складывается из трех углов при этой вершине:$\angle D_1AD_2 = \angle D_1AB + \angle BAC + \angle CAD_2$.

Поскольку все три треугольника являются равносторонними, каждый из этих углов равен $60^\circ$.$\angle D_1AD_2 = 60^\circ + 60^\circ + 60^\circ = 180^\circ$.

Это означает, что точки $D_1$, $A$ и $D_2$ лежат на одной прямой. Длина отрезка $D_1D_2$ равна сумме длин отрезков $D_1A$ и $AD_2$. Так как $D_1A$ и $AD_2$ — это стороны равносторонних треугольников с ребром 1 см, то $D_1A = 1$ см и $AD_2 = 1$ см.$D_1D_2 = D_1A + AD_2 = 1 + 1 = 2$ см.

Итак, мы получили, что периметр $P \ge 2$ см.

Выясним, когда достигается равенство. Равенство $P = 2$ см возможно только в том случае, если ломаная $D_1KMD_2$ является отрезком прямой, то есть когда точки $K$ и $M$ лежат на отрезке $D_1D_2$.Точка $K$ принадлежит ребру $AB$, а точка $M$ — ребру $AC$.Прямая $D_1D_2$ пересекает прямую $AB$ только в точке $A$. Следовательно, чтобы точка $K$ лежала на отрезке $D_1D_2$, она должна совпадать с точкой $A$ ($K=A$).Аналогично, прямая $D_1D_2$ пересекает прямую $AC$ только в точке $A$. Следовательно, $M$ также должна совпадать с точкой $A$ ($M=A$).

Таким образом, равенство $P=2$ см достигается только при $K=A$ и $M=A$. В этом случае треугольник $DKM$ вырождается в отрезок $DA$, и его "периметр" равен $DA+AM+MK = DA+AA+AK = 1+0+0 = 1$ (это не периметр, а сумма длин), или если считать периметр как $DK+KM+MD = DA+AA+AD = 1+0+1 = 2$.Если хотя бы одна из точек $K$ или $M$ не совпадает с $A$, то точки $D_1, K, M, D_2$ не лежат на одной прямой. В этом случае, согласно неравенству ломаной, $D_1K + KM + MD_2 > D_1D_2$.Следовательно, для любого невырожденного треугольника $DKM$ периметр $P$ будет строго больше 2 см.

Ответ: Что и требовалось доказать.