Номер 21.45, страница 228 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.45. Основанием пирамиды является треугольник, стороны которого равны 3 см, 4 см и 5 см. Каждая боковая грань образует с плоскостью основания угол, равный $45^\circ$. Найдите высоту пирамиды.

Сначала определим вид треугольника, лежащего в основании пирамиды. Даны стороны $a = 3$ см, $b = 4$ см и $c = 5$ см. Проверим, выполняется ли для них теорема Пифагора:

$a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ см$^2$.

$c^2 = 5^2 = 25$ см$^2$.

Так как $a^2 + b^2 = c^2$, то треугольник в основании является прямоугольным, где катеты равны 3 см и 4 см, а гипотенуза — 5 см.

В условии сказано, что каждая боковая грань образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Это означает, что двугранные углы при сторонах основания равны. Если все двугранные углы при основании пирамиды равны, то её вершина проецируется в центр окружности, вписанной в основание (инцентр).

Пусть $H$ — высота пирамиды, а $r$ — радиус вписанной в основание окружности. Высота пирамиды $H$, радиус вписанной окружности $r$ (проведенный к стороне основания) и апофема боковой грани (высота, опущенная из вершины пирамиды на сторону основания) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $H$ и $r$ являются катетами, а угол между апофемой и радиусом $r$ — это линейный угол двугранного угла, который по условию равен $45^\circ$.

Соотношение между катетами в этом прямоугольном треугольнике выражается через тангенс угла:

$\tan(45^\circ) = \frac{H}{r}$

Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, то $H = r$. Следовательно, высота пирамиды равна радиусу окружности, вписанной в треугольник основания.

Теперь найдем радиус $r$ вписанной окружности для прямоугольного треугольника в основании. Для этого можно использовать формулу $r = \frac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.

$r = \frac{3 + 4 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Также можно использовать общую формулу $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Площадь прямоугольного треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ см$^2$.

Полупериметр: $p = \frac{3+4+5}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Радиус: $r = \frac{S}{p} = \frac{6}{6} = 1$ см.

Так как высота пирамиды $H$ равна радиусу $r$, то $H = 1$ см.

Ответ: 1 см.