Номер 21.40, страница 227 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.40. Расстояние от центра основания правильной треугольной пирамиды до боковой грани равно $d$, а двугранный угол при боковом ребре равен $2\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ и основанием $ABC$. Пусть $O$ — центр основания, являющийся проекцией вершины $S$ на плоскость основания. Обозначим сторону основания как $a$, то есть $AB=BC=AC=a$.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей трех равных боковых граней: $S_{бок} = 3 \cdot S_{\triangle SBC}$.

Выражение площади боковой поверхности через сторону основания $a$ и угол $\alpha$
Двугранный угол при боковом ребре, например $SB$, по условию равен $2\alpha$. Для построения его линейного угла опустим перпендикуляры из вершин $A$ и $C$ на ребро $SB$. Так как пирамида правильная и грани $SAB$ и $SBC$ равны, эти перпендикуляры придут в одну и ту же точку $K$ на ребре $SB$. Таким образом, $AK \perp SB$ и $CK \perp SB$. Линейным углом двугранного угла является угол $\angle AKC = 2\alpha$.
Рассмотрим равнобедренный треугольник $AKC$. В нем $AK = CK$, основание $AC=a$. Проведем медиану $KN$ к стороне $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана является также высотой и биссектрисой, поэтому $KN \perp AC$ и $\angle AKN = \frac{1}{2} \angle AKC = \alpha$. Точка $N$ является серединой $AC$, поэтому $AN = a/2$.
Из прямоугольного треугольника $ANK$ находим длину отрезка $AK$:
$AK = \frac{AN}{\sin(\angle AKN)} = \frac{a/2}{\sin\alpha} = \frac{a}{2\sin\alpha}$.
Площадь боковой грани, например $\triangle SAB$, можно вычислить двумя способами. Пусть $SM$ — апофема (высота) грани $SAB$, проведенная к стороне $AB$. Тогда $S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} AB \cdot SM$. С другой стороны, $S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} SB \cdot AK$.
Приравнивая эти два выражения, получаем:
$\frac{1}{2} a \cdot SM = \frac{1}{2} SB \cdot \frac{a}{2\sin\alpha} \implies SB = 2 \cdot SM \cdot \sin\alpha$.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SBM$ ($M$ — середина $AB$). По теореме Пифагора $SB^2 = SM^2 + BM^2$. Учитывая, что $BM = a/2$:
$(2 \cdot SM \cdot \sin\alpha)^2 = SM^2 + (a/2)^2$
$4 SM^2 \sin^2\alpha = SM^2 + a^2/4$
$SM^2(4\sin^2\alpha - 1) = a^2/4$
Отсюда апофема $SM = \frac{a}{2\sqrt{4\sin^2\alpha-1}}$.
Площадь боковой поверхности равна:
$S_{бок} = 3 \cdot S_{\triangle SAB} = 3 \cdot \frac{1}{2} a \cdot SM = 3 \cdot \frac{1}{2} a \cdot \frac{a}{2\sqrt{4\sin^2\alpha-1}} = \frac{3a^2}{4\sqrt{4\sin^2\alpha-1}}$.

Выражение стороны основания $a$ через расстояние $d$ и угол $\alpha$
Расстояние от центра основания $O$ до боковой грани $SBC$ равно $d$. Пусть $L$ — середина ребра $BC$. Тогда $OL$ — радиус вписанной окружности основания, а $SL$ — апофема грани $SBC$. Плоскость $SOL$ перпендикулярна ребру $BC$, а значит, и плоскости $SBC$. Следовательно, перпендикуляр $OH$, опущенный из точки $O$ на плоскость $SBC$, будет лежать в плоскости $SOL$, и его основание $H$ будет лежать на апофеме $SL$. Таким образом, $OH=d$.
В прямоугольном треугольнике $SOL$ (угол $\angle SOL = 90^\circ$), $OH$ является высотой, опущенной на гипотенузу $SL$.
Пусть $\beta = \angle SLO$ — угол наклона боковой грани к плоскости основания. Из прямоугольного треугольника $OHL$ ($\angle OHL = 90^\circ$) находим $OL = \frac{OH}{\sin\beta} = \frac{d}{\sin\beta}$.
Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности $OL = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.
Приравнивая выражения для $OL$, получаем: $\frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{d}{\sin\beta}$, откуда $a = \frac{2\sqrt{3}d}{\sin\beta}$, и $a^2 = \frac{12d^2}{\sin^2\beta}$.
Теперь найдем связь между $\beta$ и $\alpha$. В треугольнике $SOL$, $\cos\beta = \frac{OL}{SL}$. Так как $SL$ и $SM$ — равные апофемы, $SL=SM=\frac{a}{2\sqrt{4\sin^2\alpha-1}}$.
$\cos\beta = \frac{a/(2\sqrt{3})}{a/(2\sqrt{4\sin^2\alpha-1})} = \frac{\sqrt{4\sin^2\alpha-1}}{\sqrt{3}}$.
Тогда $\cos^2\beta = \frac{4\sin^2\alpha-1}{3}$.
Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\beta = 1 - \cos^2\beta = 1 - \frac{4\sin^2\alpha-1}{3} = \frac{3 - (4\sin^2\alpha-1)}{3} = \frac{4 - 4\sin^2\alpha}{3} = \frac{4\cos^2\alpha}{3}$.
Подставим найденное $\sin^2\beta$ в выражение для $a^2$:
$a^2 = \frac{12d^2}{4\cos^2\alpha/3} = \frac{36d^2}{4\cos^2\alpha} = \frac{9d^2}{\cos^2\alpha}$.

Итоговый расчет площади боковой поверхности
Подставим полученное выражение для $a^2$ в формулу для $S_{бок}$:
$S_{бок} = \frac{3a^2}{4\sqrt{4\sin^2\alpha-1}} = \frac{3}{4\sqrt{4\sin^2\alpha-1}} \cdot \frac{9d^2}{\cos^2\alpha} = \frac{27d^2}{4\cos^2\alpha\sqrt{4\sin^2\alpha-1}}$.

Ответ: $S_{бок} = \frac{27d^2}{4\cos^2\alpha\sqrt{4\sin^2\alpha-1}}$.