Номер 21.37, страница 227 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.37. Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной 6 см. Плоскость одной боковой грани перпендикулярна плоскости основания, а плоскости двух других граней образуют с плоскостью основания угол 45°. Найдите высоту пирамиды.

Пусть дана пирамида $SABC$, где $ABC$ – правильный треугольник в основании. Сторона основания $a = AB = BC = AC = 6$ см.

По условию, плоскость одной из боковых граней, например $(SAB)$, перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$. Это означает, что высота пирамиды $SH$, опущенная из вершины $S$ на плоскость основания, лежит в плоскости $(SAB)$. Следовательно, основание высоты $H$ принадлежит прямой $AB$, которая является линией пересечения этих плоскостей.

Две другие боковые грани, $(SAC)$ и $(SBC)$, образуют с плоскостью основания угол $45^\circ$. Угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания – это линейный угол соответствующего двугранного угла.

Построим линейный угол для грани $(SBC)$. Проведем из точки $H$ перпендикуляр $HK$ к стороне $BC$. Так как $SH$ – перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, то $HK$ – проекция наклонной $SK$ на эту плоскость. По теореме о трех перпендикулярах, так как проекция $HK$ перпендикулярна прямой $BC$, то и наклонная $SK$ перпендикулярна $BC$. Следовательно, угол $\angle SKH$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(SBC)$ и $(ABC)$. По условию, $\angle SKH = 45^\circ$.

Аналогично, если провести из $H$ перпендикуляр $HM$ к стороне $AC$, то линейным углом между плоскостями $(SAC)$ и $(ABC)$ будет угол $\angle SMH$, и он также равен $45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SHK$ и $\triangle SHM$. У них общий катет $SH$ и равные острые углы $\angle SKH = \angle SMH = 45^\circ$. Следовательно, эти треугольники равны по катету и острому углу, а значит, равны и их другие катеты: $HK = HM$.

Точка $H$, лежащая на прямой $AB$, равноудалена от сторон $AC$ и $BC$. Это свойство точек, лежащих на биссектрисе угла $\angle ACB$. В правильном треугольнике $ABC$ биссектриса угла $C$ является также медианой и высотой, проведенной к стороне $AB$. Таким образом, точка $H$ – это точка пересечения медианы (биссектрисы) из вершины $C$ со стороной $AB$. Следовательно, $H$ – середина стороны $AB$.

Теперь можем найти высоту пирамиды $SH$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SHK$. Поскольку $\angle SKH = 45^\circ$, то этот треугольник является равнобедренным, и его катеты равны: $SH = HK$.

Найдем длину $HK$. Рассмотрим треугольник $HBK$ в плоскости основания. Так как $H$ – середина $AB$, то $HB = \frac{1}{2}AB = \frac{6}{2} = 3$ см. В равностороннем треугольнике $ABC$ все углы равны $60^\circ$, значит, $\angle B = 60^\circ$. Треугольник $HBK$ – прямоугольный, так как по построению $HK \perp BC$.Из треугольника $HBK$ находим катет $HK$:
$HK = HB \cdot \sin(\angle B) = 3 \cdot \sin(60^\circ) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см.

Поскольку высота пирамиды $SH = HK$, то $SH = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ см.