Номер 21.30, страница 226 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.30. Двугранный угол правильной четырёхугольной пирамиды при боковом ребре равен $\alpha$. Найдите плоский угол при вершине пирамиды.

Пусть $SABCD$ — правильная четырёхугольная пирамида с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. Обозначим искомый плоский угол при вершине пирамиды через $\beta$, то есть $\beta = \angle ASB$. Все боковые грани пирамиды — равные равнобедренные треугольники.

Двугранный угол при боковом ребре, например $SB$, по условию равен $\alpha$. Этот угол является углом между плоскостями боковых граней $(SAB)$ и $(SBC)$. Для его измерения построим линейный угол. Выберем на ребре $SB$ точку $H$ и проведём в гранях $(SAB)$ и $(SBC)$ перпендикуляры к этому ребру: $AH \perp SB$ и $CH \perp SB$. Угол $\angle AHC$ является линейным углом двугранного угла, следовательно, $\angle AHC = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $AHC$. Так как боковые грани $SAB$ и $SBC$ равны, то равны и высоты $AH$ и $CH$, проведённые к общему ребру $SB$. Значит, треугольник $AHC$ является равнобедренным. Сторона $AC$ — это диагональ квадрата $ABCD$, лежащего в основании пирамиды.

Применим к треугольнику $AHC$ теорему косинусов:

$AC^2 = AH^2 + CH^2 - 2 \cdot AH \cdot CH \cdot \cos(\alpha)$

Учитывая, что $AH = CH$, получаем:

$AC^2 = 2AH^2(1 - \cos(\alpha))$ (1)

Теперь выразим длины отрезков $AC$ и $AH$ через параметры пирамиды. Пусть длина бокового ребра равна $l$. В равнобедренном треугольнике $SAB$ с углом при вершине $\beta = \angle ASB$ и боковыми сторонами $SA = SB = l$, площадь можно найти как $S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} l^2 \sin(\beta)$. С другой стороны, площадь равна $S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} SB \cdot AH = \frac{1}{2} l \cdot AH$. Приравнивая два выражения для площади, находим $AH = l \sin(\beta)$.

Сторону основания $a = AB$ найдём по теореме косинусов для треугольника $SAB$: $a^2 = l^2 + l^2 - 2l^2\cos(\beta) = 2l^2(1 - \cos(\beta))$. Диагональ основания $AC = a\sqrt{2}$, поэтому $AC^2 = 2a^2 = 4l^2(1 - \cos(\beta))$.

Подставим полученные выражения для $AC^2$ и $AH$ в уравнение (1):

$4l^2(1 - \cos(\beta)) = 2(l \sin(\beta))^2(1 - \cos(\alpha))$

Сократим на $2l^2$ (так как $l \neq 0$):

$2(1 - \cos(\beta)) = \sin^2(\beta)(1 - \cos(\alpha))$

Воспользуемся формулами тригонометрии для половинного угла: $1 - \cos(\beta) = 2\sin^2(\frac{\beta}{2})$ и $\sin(\beta) = 2\sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})$.

$2 \cdot 2\sin^2(\frac{\beta}{2}) = (2\sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2}))^2 (1 - \cos(\alpha))$

$4\sin^2(\frac{\beta}{2}) = 4\sin^2(\frac{\beta}{2})\cos^2(\frac{\beta}{2}) (1 - \cos(\alpha))$

Поскольку $\beta$ является углом треугольника, $\beta \in (0, \pi)$, значит $\sin(\frac{\beta}{2}) \neq 0$. Можем сократить обе части на $4\sin^2(\frac{\beta}{2})$:

$1 = \cos^2(\frac{\beta}{2}) (1 - \cos(\alpha))$

Применим формулу $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$:

$1 = \cos^2(\frac{\beta}{2}) \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$

Отсюда выражаем $\cos^2(\frac{\beta}{2}) = \frac{1}{2\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$.

Чтобы найти сам угол $\beta$, воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos(\beta) = 2\cos^2(\frac{\beta}{2}) - 1$.

$\cos(\beta) = 2 \left( \frac{1}{2\sin^2(\frac{\alpha}{2})} \right) - 1 = \frac{1}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} - 1 = \frac{1 - \sin^2(\frac{\alpha}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = \frac{\cos^2(\frac{\alpha}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = \cot^2(\frac{\alpha}{2})$

Следовательно, искомый угол $\beta$ равен $\arccos(\cot^2(\frac{\alpha}{2}))$.

Ответ: $\arccos(\cot^2(\frac{\alpha}{2}))$.