Номер 21.32, страница 226 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.32. Расстояние от центра основания правильной четырёхугольной пирамиды до плоскости боковой грани равно $m$, а угол между высотой пирамиды и плоскостью боковой грани равен $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. Пусть $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$). Тогда $SO$ — высота пирамиды. Обозначим $SO = H$.

1. Построение и анализ геометрической конфигурации

Рассмотрим боковую грань $SBC$. Проведём апофему $SM$, где $M$ — середина ребра $BC$. Поскольку пирамида правильная, $SM \perp BC$. Также в основании $OM \perp BC$, где $OM$ — отрезок, соединяющий центр основания с серединой стороны. Так как $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $SM$ и $OM$ в плоскости $(SOM)$, то $BC \perp (SOM)$.

Плоскость боковой грани $(SBC)$ проходит через прямую $BC$, перпендикулярную плоскости $(SOM)$. Следовательно, плоскость $(SOM)$ перпендикулярна плоскости боковой грани $(SBC)$.

2. Использование условия о расстоянии

Расстояние от центра основания $O$ до плоскости боковой грани $(SBC)$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость $(SBC)$. Так как плоскости $(SOM)$ и $(SBC)$ перпендикулярны, этот перпендикуляр лежит в плоскости $(SOM)$ и опущен на линию их пересечения $SM$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $K$. Таким образом, $OK \perp SM$, и длина $OK$ равна заданному расстоянию $m$. Итак, $OK = m$.

3. Использование условия об угле

Угол между высотой пирамиды $SO$ и плоскостью боковой грани $(SBC)$ по определению является углом между прямой $SO$ и её проекцией на эту плоскость. Проекцией точки $S$ на плоскость $(SBC)$ является сама точка $S$. Проекцией точки $O$ на плоскость $(SBC)$ является точка $K$, так как $OK$ — перпендикуляр к этой плоскости. Следовательно, проекцией отрезка $SO$ на плоскость $(SBC)$ является отрезок $SK$.

Таким образом, угол между высотой $SO$ и плоскостью $(SBC)$ — это угол $\angle OSK$, и по условию он равен $\beta$.

4. Нахождение элементов пирамиды

Рассмотрим треугольник $\triangle OKS$. Так как $OK \perp (SBC)$, то $OK$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $SK$. Следовательно, $\triangle OKS$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $K$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OKS$ известны катет $OK=m$ и противолежащий ему угол $\angle OSK = \beta$. Можем найти гипотенузу $SO$ (высоту пирамиды):

$ \sin(\beta) = \frac{OK}{SO} \implies SO = \frac{OK}{\sin(\beta)} = \frac{m}{\sin(\beta)} $

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle SOM$. Так как $SO$ — высота пирамиды, то $SO \perp OM$, и $\triangle SOM$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $O$. Угол $\angle OSM$ этого треугольника совпадает с углом $\angle OSK$, то есть $\angle OSM = \beta$.

Зная высоту $SO=H$ и угол $\beta$ в $\triangle SOM$, найдем $OM$ и апофему $SM$:

$ \tan(\beta) = \frac{OM}{SO} \implies OM = SO \cdot \tan(\beta) = \frac{m}{\sin(\beta)} \cdot \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} = \frac{m}{\cos(\beta)} $

$ \cos(\beta) = \frac{SO}{SM} \implies SM = \frac{SO}{\cos(\beta)} = \frac{m/\sin(\beta)}{\cos(\beta)} = \frac{m}{\sin(\beta)\cos(\beta)} $

5. Вычисление площади боковой поверхности

Сторона основания $a$ связана с $OM$ соотношением $OM = a/2$. Отсюда находим сторону основания:

$ a = 2 \cdot OM = 2 \cdot \frac{m}{\cos(\beta)} = \frac{2m}{\cos(\beta)} $

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ правильной четырехугольной пирамиды равна учетверенной площади одной боковой грани:

$ S_{бок} = 4 \cdot S_{\triangle SBC} = 4 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot BC \cdot SM\right) = 2 \cdot a \cdot SM $

Подставим найденные значения для $a$ и $SM$:

$ S_{бок} = 2 \cdot \left(\frac{2m}{\cos(\beta)}\right) \cdot \left(\frac{m}{\sin(\beta)\cos(\beta)}\right) = \frac{4m^2}{\sin(\beta)\cos^2(\beta)} $

Ответ: $ \frac{4m^2}{\sin(\beta)\cos^2(\beta)} $