Номер 21.26, страница 226 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.26. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен 60°.

1) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через центр основания параллельно боковой грани пирамиды.

2) Найдите площадь сечения.

1) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через центр основания параллельно боковой грани пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. Основание $ABCD$ — квадрат со стороной $a=4$ см. Точка $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей). Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания.

Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точку $O$ и параллельна боковой грани, например, грани $SBC$.

Построение сечения:

1. Найдём линию пересечения секущей плоскости $\alpha$ с плоскостью основания $ABC$. Так как плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $SBC$, то линия их пересечения с плоскостью основания $ABC$ должны быть параллельны. Линия пересечения плоскости $SBC$ с плоскостью $ABC$ — это прямая $BC$. Следовательно, секущая плоскость $\alpha$ пересекает плоскость основания по прямой, проходящей через точку $O$ и параллельной $BC$. Проведём эту прямую. Пусть она пересекает стороны основания $AB$ и $CD$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Так как эта прямая проходит через центр квадрата $O$ параллельно стороне $BC$, то $K$ — середина $AB$, а $L$ — середина $CD$. Отрезок $KL$ — одна из сторон сечения.
2. Найдём линию пересечения секущей плоскости $\alpha$ с боковой гранью $SAB$. Эти плоскости имеют общую точку $K$. Линия их пересечения должна быть параллельна линии пересечения плоскостей $SBC$ и $SAB$, то есть ребру $SB$. Проведём через точку $K$ прямую, параллельную $SB$. Пусть она пересекает боковое ребро $SA$ в точке $P$. Так как $K$ — середина $AB$, то по теореме Фалеса (или как средняя линия треугольника $SAB$) точка $P$ является серединой ребра $SA$. Отрезок $KP$ — вторая сторона сечения.
3. Найдём линию пересечения секущей плоскости $\alpha$ с боковой гранью $SCD$. Эти плоскости имеют общую точку $L$. Линия их пересечения должна быть параллельна линии пересечения плоскостей $SBC$ и $SCD$, то есть ребру $SC$. Проведём через точку $L$ прямую, параллельную $SC$. Пусть она пересекает боковое ребро $SD$ в точке $M$. Так как $L$ — середина $CD$, то по теореме Фалеса точка $M$ является серединой ребра $SD$. Отрезок $LM$ — третья сторона сечения.
4. Соединим точки $P$ и $M$. Отрезок $PM$ является средней линией треугольника $SAD$, так как $P$ — середина $SA$, а $M$ — середина $SD$. Следовательно, $PM$ параллелен $AD$.

Полученный четырёхугольник $KPML$ — искомое сечение.

Выясним вид этого четырёхугольника. $KL$ — средняя линия квадрата $ABCD$, поэтому $KL \parallel AD$ и $KL = AD = 4$ см. $PM$ — средняя линия треугольника $SAD$, поэтому $PM \parallel AD$ и $PM = \frac{1}{2}AD = 2$ см. Так как $KL \parallel AD$ и $PM \parallel AD$, то $KL \parallel PM$. Следовательно, $KPML$ — трапеция.

Так как пирамида правильная, её боковые рёбра равны: $SB=SC$. $KP$ — средняя линия $\triangle SAB$, значит $KP = \frac{1}{2}SB$. $LM$ — средняя линия $\triangle SCD$, значит $LM = \frac{1}{2}SC$. Поскольку $SB=SC$, то и боковые стороны трапеции равны: $KP=LM$. Таким образом, сечение является равнобокой трапецией.

Ответ: Искомое сечение — равнобокая трапеция $KPML$, вершины которой являются серединами рёбер $AB$, $SA$, $SD$ и $CD$.

2) Найдите площадь сечения.

Площадь трапеции $KPML$ вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота трапеции.

Основания трапеции мы уже нашли: $KL = 4$ см и $PM = 2$ см.

Для нахождения высоты трапеции нужно найти длину её боковой стороны $KP$. $KP = \frac{1}{2}SB$. Найдём длину бокового ребра $SB$.

Двугранный угол при ребре основания равен $60^\circ$. Пусть $N$ — середина стороны $CD$. Тогда $ON \perp CD$ и $SN \perp CD$ ($SN$ — апофема грани $SCD$). Угол $\angle SNO$ — это и есть линейный угол данного двугранного угла, то есть $\angle SNO = 60^\circ$.

В основании лежит квадрат со стороной 4 см, поэтому $ON = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SON$ ($\angle SON = 90^\circ$). Апофема $SN$ равна: $SN = \frac{ON}{\cos(60^\circ)} = \frac{2}{1/2} = 4$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SNC$ ($\angle SNC = 90^\circ$). Катет $NC$ равен половине стороны основания: $NC = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см. По теореме Пифагора найдём боковое ребро $SC$: $SC^2 = SN^2 + NC^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$. $SC = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.

Так как пирамида правильная, $SB = SC = 2\sqrt{5}$ см. Тогда боковая сторона трапеции $KP = \frac{1}{2}SB = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} = \sqrt{5}$ см.

Теперь найдём высоту трапеции $h_{trap}$. Проведём в равнобокой трапеции $KPML$ высоту $PH$ из вершины $P$ на основание $KL$. Длина отрезка $KH$ равна полуразности оснований: $KH = \frac{KL - PM}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle KPH$. По теореме Пифагора: $h_{trap}^2 = KP^2 - KH^2 = (\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4$. $h_{trap} = \sqrt{4} = 2$ см.

Наконец, найдём площадь сечения (трапеции $KPML$): $S_{KPML} = \frac{KL + PM}{2} \cdot h_{trap} = \frac{4+2}{2} \cdot 2 = 3 \cdot 2 = 6 \text{ см}^2$.

Ответ: $6 \text{ см}^2$.