Номер 21.19, страница 225 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.19. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 5 см, 12 см и 13 см, а все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $30^\circ$. Найдите:

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

2) высоту пирамиды.

Сначала определим вид треугольника, который является основанием пирамиды. Его стороны равны $a = 5$ см, $b = 12$ см и $c = 13$ см. Проверим, является ли он прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора:
$a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
$c^2 = 13^2 = 169$
Так как $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник в основании является прямоугольным, где катеты равны 5 см и 12 см, а гипотенуза — 13 см.

Вычислим площадь ($S_{осн}$) и периметр ($P_{осн}$) основания.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30 \text{ см}^2$.
Периметр равен сумме длин всех сторон:
$P_{осн} = 5 + 12 + 13 = 30 \text{ см}$.

По условию, все двугранные углы при ребрах основания равны $30^\circ$. Это свойство означает, что вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Высота пирамиды $H$, радиус вписанной окружности $r$ и апофема (высота боковой грани) $h_a$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между радиусом $r$ (проведенным к точке касания) и апофемой $h_a$ и есть линейный угол двугранного угла, то есть $\alpha = 30^\circ$.

Для дальнейших расчетов нам понадобится радиус вписанной в основание окружности $r$. Его можно найти по формуле $S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр основания.
Полупериметр $p = \frac{P_{осн}}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.
Найдем радиус:
$r = \frac{S_{осн}}{p} = \frac{30}{15} = 2$ см.

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

Площадь боковой поверхности пирамиды, у которой все двугранные углы при основании равны, вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(\alpha)}$, где $\alpha$ — величина двугранного угла.
Подставим наши значения: $S_{осн} = 30 \text{ см}^2$ и $\alpha = 30^\circ$.
$S_{бок} = \frac{30}{\cos(30^\circ)}$
Зная, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$S_{бок} = \frac{30}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{30 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{60}{\sqrt{3}} = \frac{60\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{60\sqrt{3}}{3} = 20\sqrt{3} \text{ см}^2$.
Ответ: $20\sqrt{3} \text{ см}^2$.

2) высоту пирамиды.

Высота пирамиды $H$ является катетом в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом вписанной окружности $r$ и апофемой. В этом треугольнике $H$ — катет, противолежащий углу $\alpha$, а $r$ — катет, прилежащий к этому углу. Они связаны через тангенс:
$\tan(\alpha) = \frac{H}{r}$
Отсюда выразим высоту: $H = r \cdot \tan(\alpha)$.
Подставим известные значения $r = 2$ см и $\alpha = 30^\circ$:
$H = 2 \cdot \tan(30^\circ)$
Зная, что $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:
$H = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см}$.
Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см}$.