Номер 21.12, страница 225 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.12. Угол между двумя апофемами правильной треугольной пирамиды равен 60°. Докажите, что боковые грани пирамиды являются равнобедренными прямоугольными треугольниками.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$, где $S$ – вершина, а $\triangle ABC$ – основание. Так как пирамида правильная, её основание является равносторонним треугольником, а все боковые грани – равными между собой равнобедренными треугольниками.

Обозначим апофемы (высоты боковых граней), проведенные из вершины $S$ к сторонам основания $AB$ и $AC$, как $SK$ и $SL$ соответственно. По определению правильной пирамиды, все её апофемы равны, следовательно, $SK = SL$.

Рассмотрим треугольник $KSL$. Поскольку $SK = SL$, этот треугольник является равнобедренным. По условию задачи, угол между апофемами $\angle KSL = 60^\circ$. Равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^\circ$ является равносторонним. Таким образом, $\triangle KSL$ – равносторонний, и $SK = SL = KL$.

В боковых гранях $\triangle SAB$ и $\triangle SAC$, которые являются равнобедренными треугольниками ($SA=SB$ и $SA=SC$), высоты $SK$ и $SL$ также являются медианами. Это означает, что точки $K$ и $L$ являются серединами сторон $AB$ и $AC$ соответственно.

Следовательно, в треугольнике-основании $\triangle ABC$ отрезок $KL$ является средней линией. По свойству средней линии, её длина равна половине длины стороны, которой она параллельна: $KL = \frac{1}{2}BC$.

Пусть сторона основания пирамиды равна $a$, то есть $AB = BC = AC = a$. Тогда из предыдущего пункта следует, что $KL = \frac{a}{2}$. А так как мы установили, что $\triangle KSL$ равносторонний, то длина апофемы $SK$ также равна $\frac{a}{2}$, то есть $SK = \frac{a}{2}$.

Теперь рассмотрим одну из боковых граней, например, $\triangle SAB$. В этом треугольнике $SK$ является высотой, опущенной на основание $AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SKA$ (угол $\angle SKA = 90^\circ$). Длина катета $AK$ равна половине стороны $AB$, так как $K$ – её середина, то есть $AK = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}$. Длину второго катета $SK$ мы нашли ранее: $SK = \frac{a}{2}$.

Таким образом, в прямоугольном треугольнике $\triangle SKA$ катеты равны ($AK = SK = \frac{a}{2}$). Это означает, что $\triangle SKA$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Его острые углы равны $45^\circ$, в частности, $\angle ASK = 45^\circ$.

В равнобедренном треугольнике $SAB$ высота $SK$ является также и биссектрисой угла $\angle ASB$. Следовательно, полный угол при вершине $S$ равен:$\angle ASB = 2 \cdot \angle ASK = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$.

Мы доказали, что боковая грань $\triangle SAB$ – это равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине. Так как все боковые грани правильной пирамиды равны между собой, то все они являются равнобедренными прямоугольными треугольниками. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.