Номер 21.18, страница 225 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.18. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна $3\sqrt{10}$ см, а основание — 6 см. Высота пирамиды равна 5 см, а её боковые рёбра равны. Найдите боковое ребро пирамиды.

Пусть дана пирамида $SABC$, где основание $ABC$ — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $AC = BC = 3\sqrt{10}$ см и основанием $AB = 6$ см. Высота пирамиды $SO = 5$ см, где $S$ — вершина, а $O$ — её проекция на плоскость основания.

Так как по условию все боковые рёбра пирамиды равны ($SA = SB = SC$), то вершина пирамиды $S$ проецируется в центр $O$ окружности, описанной около основания. Следовательно, расстояние от точки $O$ до вершин треугольника $ABC$ равно радиусу $R$ этой окружности: $OA = OB = OC = R$.

Боковое ребро $SA$ можно найти как гипотенузу в прямоугольном треугольнике $SOA$, где катетами являются высота пирамиды $SO$ и радиус описанной окружности $R=OA$. По теореме Пифагора: $SA^2 = SO^2 + OA^2$. Нам известна высота $SO = 5$ см, значит, необходимо найти радиус $R$.

Для нахождения радиуса $R$ описанной окружности треугольника $ABC$ воспользуемся формулой $R = \frac{abc}{4S_{ABC}}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S_{ABC}$ — его площадь.

1. Найдём площадь треугольника $ABC$. Проведём высоту $CH$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является и медианой, поэтому $AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Из прямоугольного треугольника $AHC$ по теореме Пифагора найдём высоту $CH$:
$CH = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{(3\sqrt{10})^2 - 3^2} = \sqrt{9 \cdot 10 - 9} = \sqrt{90 - 9} = \sqrt{81} = 9$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $ABC$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 = 27$ см$^2$.

2. Найдём радиус $R$ описанной окружности:
$R = \frac{AC \cdot BC \cdot AB}{4S_{ABC}} = \frac{3\sqrt{10} \cdot 3\sqrt{10} \cdot 6}{4 \cdot 27} = \frac{9 \cdot 10 \cdot 6}{108} = \frac{540}{108} = 5$ см.

3. Найдём длину бокового ребра $SA$.
Теперь, зная радиус $OA = R = 5$ см и высоту $SO = 5$ см, из прямоугольного треугольника $SOA$ найдём гипотенузу $SA$ (боковое ребро):
$SA = \sqrt{SO^2 + OA^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ см.

Ответ: $5\sqrt{2}$ см.