Номер 21.24, страница 226 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.24. Плоскости боковых граней $MAB$ и $MAC$ пирамиды $MABC$ перпендикулярны плоскости основания. Найдите площадь грани $MBC$, если $AB = 13$ см, $BC = 14$ см, $AC = 15$ см, $MA = 9$ см.

Поскольку плоскости боковых граней $MAB$ и $MAC$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$, то их линия пересечения, ребро $MA$, также перпендикулярна плоскости основания $ABC$. Это означает, что $MA$ является высотой пирамиды, а треугольники $MAB$ и $MAC$ — прямоугольные (с прямыми углами $\angle MAB$ и $\angle MAC$ соответственно).

Чтобы найти площадь грани $MBC$, мы можем использовать формулу $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где в качестве основания $a$ возьмем сторону $BC = 14$ см, а $h$ — это высота $MH$, проведенная из вершины $M$ к стороне $BC$.

Сначала найдем высоту $AH$ треугольника $ABC$, проведенную к стороне $BC$. Для этого вычислим площадь треугольника $ABC$ по формуле Герона, так как известны все три его стороны: $AB = 13$ см, $AC = 15$ см, $BC = 14$ см.

Полупериметр треугольника $ABC$ равен:
$p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{13 + 15 + 14}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Площадь треугольника $ABC$ равна:
$S_{ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)} = \sqrt{21(21-13)(21-15)(21-14)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 7} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84 \text{ см}^2$.

Также площадь треугольника $ABC$ можно найти по формуле $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$. Выразим отсюда высоту $AH$:
$AH = \frac{2 \cdot S_{ABC}}{BC} = \frac{2 \cdot 84}{14} = \frac{168}{14} = 12$ см.

Рассмотрим треугольник $MAH$. Поскольку $MA \perp (ABC)$, то $MA$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, следовательно, $MA \perp AH$. Значит, треугольник $MAH$ — прямоугольный. По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная $MH$ перпендикулярна прямой $BC$ в плоскости основания, то и ее проекция $AH$ на эту плоскость также перпендикулярна $BC$. Таким образом, $MH$ является высотой в треугольнике $MBC$, а $AH$ - высотой в треугольнике $ABC$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $MAH$ найдем длину высоты $MH$:
$MH^2 = MA^2 + AH^2$
$MH^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$
$MH = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь грани $MBC$:
$S_{MBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 15 = 7 \cdot 15 = 105 \text{ см}^2$.

Ответ: $105 \text{ см}^2$.