Номер 21.25, страница 226 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.25. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды $MABCD$ равна 8 см, а высота пирамиды — 12 см.

1) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер $MA$ и $MD$ параллельно высоте пирамиды.

2) Найдите площадь сечения.

1) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер MA и MD параллельно высоте пирамиды.

Пусть $MABCD$ — данная правильная четырёхугольная пирамида. В её основании лежит квадрат $ABCD$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата, тогда $MO$ — высота пирамиды. По условию задачи, сторона основания $AB = 8$ см, а высота $MO = 12$ см.
Обозначим точки $P$ и $Q$ как середины боковых рёбер $MA$ и $MD$ соответственно. Секущая плоскость, назовём её $\alpha$, должна проходить через точки $P$ и $Q$ и быть параллельной высоте $MO$.

Построение сечения:
1. Соединим точки $P$ и $Q$ отрезком. Так как $P$ и $Q$ — середины сторон $MA$ и $MD$ в треугольнике $MAD$, отрезок $PQ$ является его средней линией. По свойству средней линии, $PQ$ параллелен основанию $AD$ и равен его половине: $PQ \parallel AD$ и $PQ = \frac{1}{2} AD$.
2. Поскольку секущая плоскость $\alpha$ по условию параллельна высоте $MO$, она должна содержать прямые, параллельные $MO$. Проведём через точку $P$ прямую, параллельную $MO$, до её пересечения с плоскостью основания $ABCD$ в точке $R$. Рассмотрим плоскость диагонального сечения $MAC$. В этой плоскости лежат точки $M, A, C, O, P$. Так как $P$ — середина $MA$ и мы провели $PR \parallel MO$, то по теореме Фалеса точка $R$ будет являться серединой отрезка $AO$. Таким образом, отрезок $PR$ является средней линией треугольника $AMO$, и $PR = \frac{1}{2} MO$.
3. Аналогично, проведём через точку $Q$ прямую, параллельную $MO$, до пересечения с плоскостью основания в точке $S$. Рассмотрим треугольник $MDO$. Так как $Q$ — середина $MD$ и $QS \parallel MO$, то точка $S$ является серединой отрезка $DO$. Отрезок $QS$ — средняя линия треугольника $MDO$, и $QS = \frac{1}{2} MO$.
4. Соединив последовательно точки $P, Q, S, R$, мы получаем искомое сечение — четырёхугольник $PQSR$.

Определим вид четырёхугольника $PQSR$:
- По построению $PR \parallel MO$ и $QS \parallel MO$, следовательно, прямые $PR$ и $QS$ параллельны между собой ($PR \parallel QS$).
- Длины этих отрезков равны: $PR = \frac{1}{2} MO$ и $QS = \frac{1}{2} MO$, значит $PR = QS$.
- Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, является параллелограммом. Таким образом, $PQSR$ — параллелограмм.
- Высота пирамиды $MO$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$. Так как $PR \parallel MO$, то и прямая $PR$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$.
- Отрезок $RS$ лежит в плоскости основания. Следовательно, прямая $PR$ перпендикулярна прямой $RS$, то есть угол $\angle PRS = 90^\circ$.
- Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Ответ: Сечением является прямоугольник $PQSR$, где $P$ и $Q$ — середины рёбер $MA$ и $MD$ соответственно, а точки $R$ и $S$ являются серединами отрезков $AO$ и $DO$ диагоналей основания.

2) Найдите площадь сечения.

Площадь сечения — это площадь прямоугольника $PQSR$. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение длин его смежных сторон: $S_{PQSR} = PQ \cdot PR$.
Найдём длины сторон $PQ$ и $PR$, используя данные задачи: $AD = 8$ см и $MO = 12$ см.

1. Найдём длину стороны $PQ$.
Как было установлено при построении, $PQ$ — средняя линия треугольника $MAD$.
$PQ = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

2. Найдём длину стороны $PR$.
Как было установлено при построении, $PR$ — средняя линия треугольника $AMO$.
$PR = \frac{1}{2} MO = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

3. Теперь можем вычислить площадь сечения.
$S_{PQSR} = PQ \cdot PR = 4 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 24 \text{ см}^2$.

Ответ: $24 \text{ см}^2$.