Номер 21.23, страница 226 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.23. Плоскости боковых граней $ABM$ и $CBM$ пирамиды $MABC$ перпендикулярны плоскости основания. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если $AB = BC = 17 \text{ см}, AC = 16 \text{ см}, MB = 20 \text{ см}$.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ равна сумме площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = S_{ABC} + S_{ABM} + S_{CBM} + S_{AMC}$

1. Определение высоты пирамиды.

По условию, плоскости боковых граней $(ABM)$ и $(CBM)$ перпендикулярны плоскости основания $(ABC)$. Эти плоскости пересекаются по прямой $MB$. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, ребро $MB$ является высотой пирамиды, то есть $MB \perp (ABC)$.

Из этого следует, что $MB \perp AB$ и $MB \perp BC$. Таким образом, треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $B$.

2. Вычисление площади основания $S_{ABC}$.

Основанием является равнобедренный треугольник $\triangle ABC$, так как $AB = BC = 17$ см, а основание $AC = 16$ см. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, $H$ — середина $AC$, и $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. По теореме Пифагора найдем высоту $BH$:

$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см.

Площадь основания $\triangle ABC$ равна:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 8 \cdot 15 = 120$ см$^2$.

3. Вычисление площадей боковых граней $S_{ABM}$ и $S_{CBM}$.

Как было установлено, $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$ — прямоугольные треугольники. Их площади равны, так как у них равные катеты ($AB=BC=17$ см, $MB=20$ см).

$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MB = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 20 = 170$ см$^2$.

$S_{CBM} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MB = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 20 = 170$ см$^2$.

4. Вычисление площади боковой грани $S_{AMC}$.

Грань $AMC$ — это треугольник. Найдем длины его сторон $MA$ и $MC$ из прямоугольных треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$ по теореме Пифагора:

$MA = \sqrt{AB^2 + MB^2} = \sqrt{17^2 + 20^2} = \sqrt{289 + 400} = \sqrt{689}$ см.

$MC = \sqrt{BC^2 + MB^2} = \sqrt{17^2 + 20^2} = \sqrt{289 + 400} = \sqrt{689}$ см.

Треугольник $\triangle AMC$ является равнобедренным ($MA=MC$). Проведем в нем высоту (апофему) $MH$ к основанию $AC$. Точка $H$ — это та же середина отрезка $AC$, что и в пункте 2. Длину апофемы $MH$ найдем из прямоугольного треугольника $\triangle MBH$ (он прямоугольный, так как $MB \perp (ABC)$, а значит $MB \perp BH$).

По теореме Пифагора:

$MH = \sqrt{MB^2 + BH^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25$ см.

Теперь найдем площадь грани $\triangle AMC$:

$S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 25 = 8 \cdot 25 = 200$ см$^2$.

5. Вычисление площади полной поверхности пирамиды.

Суммируем площади всех граней:

$S_{полн} = S_{ABC} + S_{ABM} + S_{CBM} + S_{AMC}$

$S_{полн} = 120 + 170 + 170 + 200 = 660$ см$^2$.

Ответ: $660$ см$^2$.