Номер 21.17, страница 225 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.17. Основанием пирамиды $DABC$ является треугольник $ABC$ такой, что $\angle ABC = 120^{\circ}$, $AB = BC$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $45^{\circ}$ и равно $8$ см. Найдите площадь основания пирамиды.

Пусть $DABC$ — данная пирамида. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = BC$ и $\angle ABC = 120^\circ$. Каждое боковое ребро ($DA$, $DB$, $DC$) равно 8 см и образует с плоскостью основания угол $45^\circ$.

Поскольку все боковые ребра пирамиды равны и наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то вершина пирамиды $D$ проецируется в центр окружности, описанной около треугольника-основания. Обозначим эту точку проекции как $O$. Таким образом, $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, и отрезки $OA$, $OB$, $OC$ являются радиусами этой окружности ($R$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DOA$ (где $DO$ — высота пирамиды). Угол между боковым ребром $DA$ и его проекцией $OA$ на плоскость основания — это и есть угол наклона ребра к плоскости, то есть $\angle DAO = 45^\circ$.

Из треугольника $\triangle DOA$ мы можем найти радиус описанной окружности $R = OA$:
$R = OA = DA \cdot \cos(\angle DAO) = 8 \cdot \cos(45^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь, зная радиус описанной окружности, мы можем найти стороны основания. Воспользуемся следствием из теоремы синусов для треугольника $ABC$: $\frac{a}{\sin A} = 2R$.
Поскольку $\triangle ABC$ равнобедренный, углы при основании $AC$ равны:
$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$.

Найдем длину стороны $AB$:
$\frac{AB}{\sin(\angle BCA)} = 2R$
$AB = 2R \cdot \sin(30^\circ) = 2 \cdot (4\sqrt{2}) \cdot \frac{1}{2} = 4\sqrt{2}$ см.
Так как $AB = BC$, то $BC = 4\sqrt{2}$ см.

Площадь основания пирамиды, то есть площадь треугольника $ABC$, можно найти по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)$
Подставим найденные значения:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{2}) \cdot (4\sqrt{2}) \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot (16 \cdot 2) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $8\sqrt{3} \text{ см}^2$.