Номер 21.22, страница 226 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

Параграф 21. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 21.22, страница 226.

Условие.

21.22. Основанием пирамиды является квадрат со стороной 12 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны плоскости основания. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если её высота равна 5 см.

Решение.

Решение 2.

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$): $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

Основанием пирамиды является квадрат со стороной $a = 12$ см, следовательно, площадь основания равна: $S_{осн} = a^2 = 12^2 = 144$ см².

Согласно условию, две боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Это означает, что их общее ребро является высотой пирамиды. Пусть пирамида называется $SABCD$, где $ABCD$ — квадрат в основании. Если грани $(SAB)$ и $(SAD)$ перпендикулярны основанию $(ABCD)$, то их линия пересечения, ребро $SA$, перпендикулярно плоскости основания. Таким образом, $SA$ — высота пирамиды, и $SA = h = 5$ см.

Площадь боковой поверхности — это сумма площадей четырех треугольных граней: $S_{SAB}$, $S_{SAD}$, $S_{SBC}$ и $S_{SCD}$.

Поскольку ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания, оно перпендикулярно прямым $AB$ и $AD$, лежащим в этой плоскости. Значит, треугольники $SAB$ и $SAD$ — прямоугольные. Их площади равны: $S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ см². $S_{SAD} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ см².

Для вычисления площадей граней $SBC$ и $SCD$ применим теорему о трех перпендикулярах. Так как $SA \perp (ABCD)$ и $AB \perp BC$ (как стороны квадрата), то наклонная $SB \perp BC$. Аналогично, так как $SA \perp (ABCD)$ и $AD \perp CD$, то наклонная $SD \perp CD$. Таким образом, треугольники $SBC$ и $SCD$ также являются прямоугольными.

Найдем длины ребер $SB$ и $SD$ по теореме Пифагора из прямоугольных треугольников $SAB$ и $SAD$: $SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см. Поскольку $AD = AB$, то $SD = SB = 13$ см.

Теперь найдем площади треугольников $SBC$ и $SCD$: $S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 13 = 78$ см². $S_{SCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot SD = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 13 = 78$ см².

Площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех боковых граней: $S_{бок} = S_{SAB} + S_{SAD} + S_{SBC} + S_{SCD} = 30 + 30 + 78 + 78 = 216$ см².

И, наконец, площадь полной поверхности пирамиды: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 144 + 216 = 360$ см².

Ответ: 360 см².