Номер 21.27, страница 226 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.27. Точки $M$ и $K$ — середины рёбер $BC$ и $BD$ правильного тетраэдра $DABC$. Найдите угол между прямыми $AK$ и $DM$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Пусть ребро правильного тетраэдра $DABC$ равно $a$.

1. Введение системы координат и нахождение координат вершин тетраэдра.

Расположим тетраэдр в трехмерной декартовой системе координат. Поместим вершину $B$ в начало координат, а ребро $BC$ — на ось $Ox$.

• Вершина $B$ имеет координаты $B(0, 0, 0)$.

• Вершина $C$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии $a$ от начала координат, поэтому ее координаты $C(a, 0, 0)$.

• Грань $ABC$ — равносторонний треугольник со стороной $a$. Вершина $A$ находится в плоскости $Oxy$. Её координаты находятся из геометрии равностороннего треугольника: $A(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.

• Вершина $D$ проецируется в центр грани $ABC$, точку $O$. Координаты точки $O$ — это среднее арифметическое координат вершин $A, B, C$: $O(\frac{0+a+a/2}{3}, \frac{0+0+a\sqrt{3}/2}{3}, 0) = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6}, 0)$. Высота тетраэдра $DO$ находится из прямоугольного треугольника $DOA$, где $DA=a$ (ребро тетраэдра), а $OA$ — радиус описанной окружности вокруг $\triangle ABC$, равный $\frac{a}{\sqrt{3}}$. По теореме Пифагора: $DO^2 = DA^2 - OA^2 = a^2 - (\frac{a}{\sqrt{3}})^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$. Отсюда высота $DO = \frac{a\sqrt{6}}{3}$. Таким образом, координаты вершины $D$ равны $D(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6}, \frac{a\sqrt{6}}{3})$.

2. Нахождение координат точек M и K.

• Точка $M$ — середина ребра $BC$. Ее координаты: $M(\frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{a}{2}, 0, 0)$.

• Точка $K$ — середина ребра $BD$. Ее координаты: $K(\frac{0+a/2}{2}, \frac{0+a\sqrt{3}/6}{2}, \frac{0+a\sqrt{6}/3}{2}) = (\frac{a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{12}, \frac{a\sqrt{6}}{6})$.

3. Нахождение векторов $\vec{AK}$ и $\vec{DM}$.

• Вектор $\vec{AK}$ имеет координаты, равные разности координат точек $K$ и $A$:
$\vec{AK} = (\frac{a}{4} - \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{12} - \frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a\sqrt{6}}{6} - 0) = (-\frac{a}{4}, -\frac{5a\sqrt{3}}{12}, \frac{a\sqrt{6}}{6})$.

• Вектор $\vec{DM}$ имеет координаты, равные разности координат точек $M$ и $D$:
$\vec{DM} = (\frac{a}{2} - \frac{a}{2}, 0 - \frac{a\sqrt{3}}{6}, 0 - \frac{a\sqrt{6}}{3}) = (0, -\frac{a\sqrt{3}}{6}, -\frac{a\sqrt{6}}{3})$.

4. Вычисление скалярного произведения векторов.

Скалярное произведение векторов $\vec{AK}$ и $\vec{DM}$ равно:
$\vec{AK} \cdot \vec{DM} = (-\frac{a}{4}) \cdot 0 + (-\frac{5a\sqrt{3}}{12}) \cdot (-\frac{a\sqrt{3}}{6}) + (\frac{a\sqrt{6}}{6}) \cdot (-\frac{a\sqrt{6}}{3})$
$= 0 + \frac{15a^2}{72} - \frac{6a^2}{18} = \frac{5a^2}{24} - \frac{a^2}{3} = \frac{5a^2 - 8a^2}{24} = -\frac{3a^2}{24} = -\frac{a^2}{8}$.

5. Вычисление длин векторов.

Отрезки $AK$ и $DM$ являются медианами в равносторонних треугольниках $ABD$ и $DBC$ соответственно. Длина медианы в равностороннем треугольнике со стороной $a$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, модули векторов равны:
$|\vec{AK}| = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
$|\vec{DM}| = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

6. Нахождение угла между прямыми.

Угол $\phi$ между векторами $\vec{AK}$ и $\vec{DM}$ можно найти по формуле косинуса угла между векторами:
$\cos \phi = \frac{\vec{AK} \cdot \vec{DM}}{|\vec{AK}| \cdot |\vec{DM}|} = \frac{-a^2/8}{(\frac{a\sqrt{3}}{2}) \cdot (\frac{a\sqrt{3}}{2})} = \frac{-a^2/8}{\frac{3a^2}{4}} = -\frac{a^2}{8} \cdot \frac{4}{3a^2} = -\frac{4}{24} = -\frac{1}{6}$.
Угол $\theta$ между прямыми является острым углом, поэтому его косинус равен модулю косинуса угла между направляющими векторами:
$\cos \theta = |\cos \phi| = |-\frac{1}{6}| = \frac{1}{6}$.
Таким образом, искомый угол равен $\arccos(\frac{1}{6})$.

Ответ: $\arccos(\frac{1}{6})$