Номер 21.11, страница 225 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.11. Постройте сечение правильной треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через основание её высоты и параллельной скрещивающимся рёбрам пирамиды. Найдите периметр этого сечения, если сторона основания пирамиды равна 9 см, а боковое ребро равно 12 см.

Построение сечения

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC с основанием ABC и вершиной S. SO — высота пирамиды, где O — центр основания (точка пересечения медиан, высот и биссектрис равностороннего треугольника ABC). По условию, сторона основания $a = AB = BC = CA = 9$ см, а боковое ребро $l = SA = SB = SC = 12$ см.

Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точку O и параллельна скрещивающимся рёбрам, в качестве которых выберем боковое ребро SA и ребро основания BC.

Построим сечение, используя свойство параллельности прямой и плоскости:

1. Поскольку плоскость $\alpha$ параллельна прямой BC и проходит через точку O, она пересекает плоскость основания ABC по прямой, проходящей через O и параллельной BC. Проведём в плоскости ABC прямую MN, где $M \in AB$ и $N \in AC$, такую что $MN \parallel BC$. Отрезок MN — одна из сторон искомого сечения.
2. Поскольку плоскость $\alpha$ параллельна ребру SA и проходит через точку M, она пересекает плоскость боковой грани SAB по прямой, проходящей через M и параллельной SA. Проведём в плоскости SAB прямую MK, где $K \in SB$, такую что $MK \parallel SA$. Отрезок MK — вторая сторона сечения.
3. Аналогично, в плоскости боковой грани SAC проведём через точку N прямую NP, где $P \in SC$, такую что $NP \parallel SA$. Отрезок NP — третья сторона сечения.
4. Соединим точки K и P, лежащие в плоскости грани SBC. Отрезок KP является линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью SBC и является четвёртой стороной сечения.

Полученный четырёхугольник MNKP — искомое сечение.

Определим вид этого четырёхугольника. По построению $MK \parallel SA$ и $NP \parallel SA$, следовательно, $MK \parallel NP$. Чтобы доказать, что MNKP — параллелограмм, покажем, что $MN \parallel KP$.

В треугольнике ABC точка O является центроидом. Медиана, проведённая из вершины A к стороне BC (пусть это $AA_1$), делится точкой O в отношении $AO:OA_1 = 2:1$. Так как $MN \parallel BC$, то по теореме о пропорциональных отрезках $\triangle AMN \sim \triangle ABC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{AO}{AA_1} = \frac{2}{3}$.
Из подобия следует, что $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{2}{3}$, откуда $BM = AB - AM = \frac{1}{3}AB$ и $CN = AC - AN = \frac{1}{3}AC$.
В грани SAB из $MK \parallel SA$ следует, что $\triangle BKM \sim \triangle BSA$, поэтому $\frac{BK}{BS} = \frac{BM}{BA} = \frac{1}{3}$.
В грани SAC из $NP \parallel SA$ следует, что $\triangle CNP \sim \triangle CSA$, поэтому $\frac{CP}{CS} = \frac{CN}{CA} = \frac{1}{3}$.
Рассмотрим грань SBC. Так как $\frac{SB-SK}{SB} = \frac{BK}{BS} = \frac{1}{3}$, то $\frac{SK}{SB} = \frac{2}{3}$. Аналогично, $\frac{SP}{SC} = \frac{2}{3}$.
Поскольку $\frac{SK}{SB} = \frac{SP}{SC}$, по теореме, обратной теореме Фалеса, $KP \parallel BC$. Так как $MN \parallel BC$ и $KP \parallel BC$, то $MN \parallel KP$.
Поскольку у четырёхугольника MNKP противоположные стороны попарно параллельны ($MK \parallel NP$ и $MN \parallel KP$), он является параллелограммом.

Ответ: Искомое сечение — это параллелограмм MNKP, у которого стороны MN и KP параллельны ребру основания BC, а стороны MK и NP параллельны боковому ребру SA.

Нахождение периметра сечения

Периметр параллелограмма MNKP равен $P = 2(MN + MK)$. Найдём длины его смежных сторон.

1. Найдём длину стороны MN. Из подобия $\triangle AMN \sim \triangle ABC$ с коэффициентом $k = 2/3$ следует:
$MN = \frac{2}{3} \cdot BC = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$ см.

2. Найдём длину стороны MK. Из подобия $\triangle BKM \sim \triangle BSA$ с коэффициентом $k' = \frac{BM}{BA} = 1/3$ следует:
$MK = \frac{1}{3} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$ см.

3. Теперь можем вычислить периметр сечения:
$P_{MNKP} = 2(MN + MK) = 2(6 + 4) = 2 \cdot 10 = 20$ см.

Ответ: 20 см.