Номер 21.8, страница 224 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.8. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите двугранный угол пирамиды при ребре основания.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$. Основание $ABC$ — правильный треугольник. Пусть $O$ — центр основания (точка пересечения медиан, высот и биссектрис). Тогда $SO$ — высота пирамиды, и $SO \perp (ABC)$.

Угол между боковым ребром (например, $SA$) и плоскостью основания $(ABC)$ — это угол между ребром $SA$ и его проекцией $AO$ на эту плоскость. Следовательно, по условию, $\angle SAO = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAO$ (где $\angle SOA = 90^\circ$). В этом треугольнике тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета $SO$ к прилежащему $AO$:
$\tan(\alpha) = \frac{SO}{AO}$, откуда $SO = AO \cdot \tan(\alpha)$.

Двугранный угол при ребре основания, например, при ребре $BC$, — это угол между плоскостью боковой грани $(SBC)$ и плоскостью основания $(ABC)$. Для нахождения этого угла построим его линейный угол.

Проведем в плоскости основания медиану (которая также является высотой) $AM$ к стороне $BC$. Так как $\triangle ABC$ — правильный, то $AM \perp BC$. Точка $O$ лежит на отрезке $AM$.

Проведем в плоскости боковой грани $(SBC)$ апофему $SM$. Так как пирамида правильная, то боковая грань $SBC$ — равнобедренный треугольник ($SB=SC$), и апофема $SM$ является также медианой и высотой. Следовательно, $SM \perp BC$.

Поскольку $AM \perp BC$ и $SM \perp BC$, то угол $\angle SMA$ является линейным углом двугранного угла при ребре $BC$. Обозначим этот угол $\beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$ (где $\angle SOM = 90^\circ$). В этом треугольнике тангенс угла $\beta$ равен:
$\tan(\beta) = \frac{SO}{OM}$, откуда $SO = OM \cdot \tan(\beta)$.

Приравняем два выражения для высоты $SO$:
$AO \cdot \tan(\alpha) = OM \cdot \tan(\beta)$.
Отсюда выразим $\tan(\beta)$:
$\tan(\beta) = \frac{AO}{OM} \cdot \tan(\alpha)$.

Точка $O$ — центр правильного треугольника $ABC$, который является точкой пересечения медиан. По свойству медиан, они делятся точкой пересечения в отношении $2:1$, считая от вершины. Следовательно, для медианы $AM$:
$\frac{AO}{OM} = \frac{2}{1} = 2$.

Подставим это значение в формулу для $\tan(\beta)$:
$\tan(\beta) = 2 \tan(\alpha)$.

Таким образом, искомый двугранный угол $\beta$ можно найти как арктангенс этого выражения.

Ответ: $\arctan(2 \tan(\alpha))$