Номер 21.1, страница 224 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.1. Основанием пирамиды $MABCD$ является параллелограмм $ABCD$, диагональ $BD$ которого равна 4 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания, а боковое ребро $MA$ равно 8 см и образует с плоскостью основания угол $45^{\circ}$. Найдите ребро $MD$.

Пусть $MABCD$ — данная пирамида. Основание $ABCD$ — параллелограмм. Обозначим точку пересечения диагоналей основания $AC$ и $BD$ как $O$. По условию, высота пирамиды проходит через эту точку, следовательно, отрезок $MO$ является высотой пирамиды, и $MO \perp (ABC)$.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Так как $MO$ — перпендикуляр к плоскости основания $(ABC)$, то $AO$ является проекцией наклонной (бокового ребра) $MA$ на плоскость $(ABC)$. Следовательно, угол между боковым ребром $MA$ и плоскостью основания — это угол $\angle MAO$. По условию задачи, $\angle MAO = 45^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник $\triangle MOA$. Он является прямоугольным, так как $MO$ — высота, и, следовательно, $\angle MOA = 90^{\circ}$. В этом треугольнике нам известна гипотенуза $MA = 8$ см и острый угол $\angle MAO = 45^{\circ}$. Найдем длины катетов $AO$ и $MO$.

$AO = MA \cdot \cos(\angle MAO) = 8 \cdot \cos(45^{\circ}) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

$MO = MA \cdot \sin(\angle MAO) = 8 \cdot \sin(45^{\circ}) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Так как в прямоугольном треугольнике $\triangle MOA$ один из острых углов равен $45^{\circ}$, он является равнобедренным, поэтому $MO = AO = 4\sqrt{2}$ см.

Для того чтобы найти длину ребра $MD$, рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOD$ (угол $\angle MOD = 90^{\circ}$, так как $MO$ перпендикулярен любой прямой в плоскости основания, в том числе и диагонали $BD$). По теореме Пифагора $MD^2 = MO^2 + OD^2$.

Длину высоты $MO$ мы уже нашли. Найдем длину отрезка $OD$. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой диагонали $BD$.

$OD = \frac{1}{2} BD$.

По условию $BD = 4$ см, значит:

$OD = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

Теперь подставим известные значения в формулу теоремы Пифагора для треугольника $\triangle MOD$:

$MD^2 = MO^2 + OD^2 = (4\sqrt{2})^2 + 2^2 = 16 \cdot 2 + 4 = 32 + 4 = 36$.

$MD = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: 6 см.