Номер 20.27, страница 218 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.27. Основанием параллелепипеда является ромб, сторона которого равна $a$, а острый угол — $60^\circ$. Боковые грани параллелепипеда — ромбы с острыми углами, равными $45^\circ$. Найдите высоту параллелепипеда.

Обозначим параллелепипед как $ABCDA'B'C'D'$, где $ABCD$ — это основание.

По условию, основанием является ромб со стороной $a$ и острым углом $60^\circ$. Пусть $\angle BAD = 60^\circ$. Тогда все стороны ромба равны $a$: $AB = BC = CD = DA = a$.

Боковые грани — это ромбы с острыми углами $45^\circ$. Поскольку боковые грани имеют общие ребра с основанием (например, грань $ABB'A'$ имеет общее ребро $AB$), то все стороны боковых граней также равны $a$. Это означает, что все 12 ребер параллелепипеда равны $a$.

Будем считать, что острые углы боковых граней, примыкающие к вершине $A$ основания, равны $45^\circ$. То есть, $\angle A'AB = 45^\circ$ и $\angle A'AD = 45^\circ$. Высотой параллелепипеда $H$ является перпендикуляр, опущенный из вершины $A'$ на плоскость основания $ABCD$.

Для нахождения высоты $H$ введем декартову систему координат с началом в вершине $A(0, 0, 0)$.

Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$. Тогда координаты вершины $B$ будут $(a, 0, 0)$.

Расположим основание $ABCD$ в плоскости $Oxy$. Так как $AD = a$ и $\angle BAD = 60^\circ$, координаты вершины $D$ будут:$D = (a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0) = (a \cdot \frac{1}{2}, a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Пусть вершина $A'$ имеет координаты $(x, y, z)$. Высота параллелепипеда $H$ равна z-координате этой точки ($H = z$, при $z > 0$).

Длина бокового ребра $AA'$ равна $a$. Используя формулу расстояния между точками $A(0,0,0)$ и $A'(x,y,z)$, получаем уравнение:$|\vec{AA'}|^2 = x^2 + y^2 + z^2 = a^2$. (1)

Угол между ребром $AA'$ и ребром $AB$ равен $45^\circ$. Выразим это через скалярное произведение векторов $\vec{AA'} = (x, y, z)$ и $\vec{AB} = (a, 0, 0)$:$\vec{AA'} \cdot \vec{AB} = |\vec{AA'}| \cdot |\vec{AB}| \cos(45^\circ)$$x \cdot a + y \cdot 0 + z \cdot 0 = a \cdot a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$ax = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}$$x = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. (2)

Аналогично, угол между ребром $AA'$ и ребром $AD$ равен $45^\circ$. Скалярное произведение векторов $\vec{AA'} = (x, y, z)$ и $\vec{AD} = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$:$\vec{AA'} \cdot \vec{AD} = |\vec{AA'}| \cdot |\vec{AD}| \cos(45^\circ)$$x \cdot \frac{a}{2} + y \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} + z \cdot 0 = a \cdot a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$\frac{ax}{2} + \frac{ay\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}$Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{a}$:$x + y\sqrt{3} = a\sqrt{2}$. (3)

Теперь решим полученную систему уравнений. Подставим значение $x$ из уравнения (2) в уравнение (3):$\frac{a\sqrt{2}}{2} + y\sqrt{3} = a\sqrt{2}$$y\sqrt{3} = a\sqrt{2} - \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$y = \frac{a\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{6}$.

Наконец, подставим найденные значения $x$ и $y$ в уравнение (1), чтобы найти высоту $H = z$:$H^2 = z^2 = a^2 - x^2 - y^2$$H^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a\sqrt{6}}{6}\right)^2$$H^2 = a^2 - \frac{a^2 \cdot 2}{4} - \frac{a^2 \cdot 6}{36}$$H^2 = a^2 - \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{6}$$H^2 = a^2 \left(\frac{6}{6} - \frac{3}{6} - \frac{1}{6}\right) = a^2 \left(\frac{6-3-1}{6}\right) = a^2 \left(\frac{2}{6}\right) = \frac{a^2}{3}$$H = \sqrt{\frac{a^2}{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{3}}{3}$