Номер 20.28, страница 218 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.28. Основанием параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является прямоугольник $ABCD$. Известно, что $AA_1 = a$, $\angle A_1AB = \alpha$, $\angle A_1AD = \beta$. Найдите высоту параллелепипеда.

Для нахождения высоты параллелепипеда введем прямоугольную (декартову) систему координат. Пусть вершина $A$ параллелепипеда совпадает с началом координат $(0, 0, 0)$. Так как основание $ABCD$ является прямоугольником, мы можем направить оси координат вдоль его сторон: ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, а ось $Oy$ вдоль ребра $AD$. В этом случае ось $Oz$ будет перпендикулярна плоскости основания $ABCD$.

Высота параллелепипеда $h$ — это перпендикуляр, опущенный из любой вершины верхнего основания (например, $A_1$) на плоскость нижнего основания ($ABCD$). В нашей системе координат это будет аппликата (координата $z$) точки $A_1$. Пусть координаты точки $A_1$ будут $(x_1, y_1, z_1)$. Тогда высота $h = z_1$ (мы предполагаем, что верхнее основание находится над нижним, то есть $z_1 > 0$).

По условию, длина бокового ребра $AA_1 = a$. Длина вектора $\vec{AA_1}$ с координатами $(x_1, y_1, z_1)$ равна $a$. Это можно записать с помощью теоремы Пифагора в пространстве:$|\vec{AA_1}|^2 = x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 = a^2$

Нам даны углы, которые боковое ребро $AA_1$ образует с ребрами основания $AB$ и $AD$.Угол $\angle A_1AB = \alpha$ — это угол между вектором $\vec{AA_1}$ и осью $Ox$. Координата $x_1$ является проекцией вектора $\vec{AA_1}$ на ось $Ox$, поэтому:$x_1 = |\vec{AA_1}| \cos \alpha = a \cos \alpha$

Аналогично, угол $\angle A_1AD = \beta$ — это угол между вектором $\vec{AA_1}$ и осью $Oy$. Координата $y_1$ является проекцией вектора $\vec{AA_1}$ на ось $Oy$:$y_1 = |\vec{AA_1}| \cos \beta = a \cos \beta$

Теперь подставим найденные выражения для $x_1$ и $y_1$ в уравнение для длины вектора $\vec{AA_1}$:$(a \cos \alpha)^2 + (a \cos \beta)^2 + z_1^2 = a^2$$a^2 \cos^2 \alpha + a^2 \cos^2 \beta + z_1^2 = a^2$

Выразим из этого уравнения $z_1^2$:$z_1^2 = a^2 - a^2 \cos^2 \alpha - a^2 \cos^2 \beta$$z_1^2 = a^2 (1 - \cos^2 \alpha - \cos^2 \beta)$

Так как высота $h=z_1$ — это длина, она должна быть неотрицательной. Извлекаем квадратный корень:$h = z_1 = \sqrt{a^2 (1 - \cos^2 \alpha - \cos^2 \beta)} = a \sqrt{1 - \cos^2 \alpha - \cos^2 \beta}$

Ответ: $a \sqrt{1 - \cos^2 \alpha - \cos^2 \beta}$