Номер 20.25, страница 218 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

Параграф 20. Параллелепипед. Глава 4. Многогранники - номер 20.25, страница 218.

Условие.

20.25. Основание $ABCD$ наклонного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадратом, а плоскости граней $AA_1B_1B$ и $CC_1D_1D$ перпендикулярны плоскости основания. Найдите площадь грани $AA_1D_1D$, если каждое ребро параллелепипеда равно 8 см.

Решение.

Решение 2.

Пусть дан наклонный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

По условию, основание $ABCD$ является квадратом. Это означает, что все его стороны равны, а углы прямые. В частности, $AD \perp AB$.

Также по условию, каждое ребро параллелепипеда равно 8 см. Следовательно, стороны основания $AD$ и боковое ребро $AA_1$ равны:
$AD = 8$ см
$AA_1 = 8$ см

Грань $AA_1D_1D$ является параллелограммом. Для нахождения ее площади можно использовать формулу $S = a \cdot b \cdot \sin\alpha$, где $a$ и $b$ – смежные стороны, а $\alpha$ – угол между ними. В нашем случае, это $S_{AA_1D_1D} = AD \cdot AA_1 \cdot \sin(\angle DAA_1)$. Найдем угол $\angle DAA_1$.

Из условия известно, что плоскость боковой грани $(AA_1B_1B)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABCD)$. Линией пересечения этих двух плоскостей является ребро $AB$.

Ребро $AD$ лежит в плоскости основания $(ABCD)$ и перпендикулярно линии пересечения $AB$ (так как $ABCD$ – квадрат).

Согласно теореме о перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и второй плоскости.

Таким образом, прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $(AA_1B_1B)$.

Поскольку прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $(AA_1B_1B)$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Ребро $AA_1$ лежит в плоскости $(AA_1B_1B)$, следовательно, $AD \perp AA_1$.

Это означает, что угол между ребрами $AD$ и $AA_1$ равен $90^\circ$, то есть $\angle DAA_1 = 90^\circ$.

Таким образом, грань $AA_1D_1D$ является параллелограммом с прямым углом, то есть прямоугольником. Так как его смежные стороны $AD$ и $AA_1$ равны 8 см, эта грань является квадратом.

Площадь грани $AA_1D_1D$ равна произведению ее сторон: $S_{AA_1D_1D} = AD \cdot AA_1 = 8 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 64 \text{ см}^2$.

Ответ: $64 \text{ см}^2$.