Страница 218 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.17. Диагональ $AC_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ образует с плоскостями $ABC$, $ABB_1$ и $ADD_1$ соответственно углы $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Докажите, что $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 1$.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Обозначим длины его ребер, выходящих из вершины $A$, следующим образом: $AB = a$, $AD = b$ и $AA_1 = c$.Квадрат длины главной диагонали $AC_1$ прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений:$d^2 = AC_1^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

Угол между наклонной и плоскостью — это угол между этой наклонной и ее проекцией на данную плоскость. Синус этого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, образованном наклонной, ее проекцией и перпендикуляром, опущенным из точки наклонной на плоскость.

1. Угол $\alpha$ между диагональю $AC_1$ и плоскостью основания $ABC$.
Проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость основания $ABC$ является диагональ основания $AC$. Следовательно, угол $\alpha$ — это угол $\angle C_1AC$.
Рассмотрим треугольник $\triangle AC_1C$. Ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости $ABC$, а значит, и прямой $AC$, лежащей в этой плоскости. Таким образом, $\triangle AC_1C$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.
В этом треугольнике катет $CC_1$ противолежит углу $\alpha$, а $AC_1$ является гипотенузой. Длина катета $CC_1 = c$.По определению синуса:$\sin\alpha = \frac{CC_1}{AC_1} = \frac{c}{AC_1}$.

2. Угол $\beta$ между диагональю $AC_1$ и плоскостью передней грани $ABB_1A_1$.
Проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость грани $ABB_1A_1$ является диагональ этой грани $AB_1$. Следовательно, угол $\beta$ — это угол $\angle C_1AB_1$.
Рассмотрим треугольник $\triangle AC_1B_1$. Ребро $B_1C_1$ перпендикулярно плоскости $ABB_1A_1$, а значит, и прямой $AB_1$. Таким образом, $\triangle AC_1B_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B_1$.
В этом треугольнике катет $B_1C_1$ противолежит углу $\beta$, а $AC_1$ является гипотенузой. Длина катета $B_1C_1 = AD = b$.По определению синуса:$\sin\beta = \frac{B_1C_1}{AC_1} = \frac{b}{AC_1}$.

3. Угол $\gamma$ между диагональю $AC_1$ и плоскостью боковой грани $ADD_1A_1$.
Проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость грани $ADD_1A_1$ является диагональ этой грани $AD_1$. Следовательно, угол $\gamma$ — это угол $\angle C_1AD_1$.
Рассмотрим треугольник $\triangle AC_1D_1$. Ребро $D_1C_1$ перпендикулярно плоскости $ADD_1A_1$, а значит, и прямой $AD_1$. Таким образом, $\triangle AC_1D_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D_1$.
В этом треугольнике катет $D_1C_1$ противолежит углу $\gamma$, а $AC_1$ является гипотенузой. Длина катета $D_1C_1 = AB = a$.По определению синуса:$\sin\gamma = \frac{D_1C_1}{AC_1} = \frac{a}{AC_1}$.

4. Доказательство тождества.
Теперь найдем сумму квадратов полученных синусов:$\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \sin^2\gamma = \left(\frac{c}{AC_1}\right)^2 + \left(\frac{b}{AC_1}\right)^2 + \left(\frac{a}{AC_1}\right)^2$
Сложим дроби с одинаковым знаменателем $AC_1^2$:$\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \sin^2\gamma = \frac{c^2}{AC_1^2} + \frac{b^2}{AC_1^2} + \frac{a^2}{AC_1^2} = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{AC_1^2}$
Вспомним, что $AC_1^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Подставим это выражение в знаменатель:$\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \sin^2\gamma = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{a^2 + b^2 + c^2} = 1$
Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Равенство $\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \sin^2\gamma = 1$ доказано.

20.18. Диагональ $AC_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ образует с рёбрами $AB$, $AD$ и $AA_1$ соответственно углы $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Докажите, что $cos^2 \alpha + cos^2 \beta + cos^2 \gamma = 1$.

Для доказательства воспользуемся координатным методом. Поместим прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ в декартову систему координат так, чтобы вершина $A$ совпала с началом координат $(0, 0, 0)$, а рёбра $AB$, $AD$ и $AA_1$ лежали на осях $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно.

Пусть длины рёбер, выходящих из вершины $A$, равны:

$|AB| = a$

$|AD| = b$

$|AA_1| = c$

В этом случае координаты вершин $A$ и $C_1$ будут:

$A(0, 0, 0)$

$C_1(a, b, c)$

Вектор диагонали $AC_1$ имеет координаты: $\vec{AC_1} = \{a; b; c\}$.

Длина (модуль) этого вектора, которая является длиной диагонали параллелепипеда, равна: $d = |\vec{AC_1}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

Углы $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — это углы между вектором диагонали $\vec{AC_1}$ и векторами рёбер $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$ соответственно.

Векторы рёбер, выходящих из начала координат, имеют следующие координаты:

$\vec{AB} = \{a; 0; 0\}$

$\vec{AD} = \{0; b; 0\}$

$\vec{AA_1} = \{0; 0; c\}$

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле скалярного произведения: $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

Найдём косинус угла $\alpha$ между диагональю $AC_1$ и ребром $AB$:

$\cos \alpha = \frac{\vec{AC_1} \cdot \vec{AB}}{|\vec{AC_1}| |\vec{AB}|} = \frac{a \cdot a + b \cdot 0 + c \cdot 0}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{a^2}} = \frac{a^2}{a \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

Найдём косинус угла $\beta$ между диагональю $AC_1$ и ребром $AD$:

$\cos \beta = \frac{\vec{AC_1} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AC_1}| |\vec{AD}|} = \frac{a \cdot 0 + b \cdot b + c \cdot 0}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{b^2}} = \frac{b^2}{b \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

Найдём косинус угла $\gamma$ между диагональю $AC_1$ и ребром $AA_1$:

$\cos \gamma = \frac{\vec{AC_1} \cdot \vec{AA_1}}{|\vec{AC_1}| |\vec{AA_1}|} = \frac{a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{c^2}} = \frac{c^2}{c \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

Теперь возведём полученные выражения для косинусов в квадрат и сложим их:

$\cos^2 \alpha = \left(\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\right)^2 = \frac{a^2}{a^2 + b^2 + c^2}$

$\cos^2 \beta = \left(\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\right)^2 = \frac{b^2}{a^2 + b^2 + c^2}$

$\cos^2 \gamma = \left(\frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\right)^2 = \frac{c^2}{a^2 + b^2 + c^2}$

Суммируя эти значения, получаем:

$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = \frac{a^2}{a^2 + b^2 + c^2} + \frac{b^2}{a^2 + b^2 + c^2} + \frac{c^2}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{a^2 + b^2 + c^2} = 1$.

Таким образом, мы доказали, что $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.

Ответ: что и требовалось доказать.

20.19. Сечением параллелепипеда является $n$-угольник ($n > 3$). Докажите, что у этого $n$-угольника есть параллельные стороны.

Пусть дан параллелепипед и секущая плоскость $\alpha$. Сечением является $n$-угольник, где $n > 3$. Стороны этого $n$-угольника являются отрезками, по которым плоскость $\alpha$ пересекает грани параллелепипеда.

Параллелепипед имеет 6 граней, которые образуют 3 пары параллельных между собой плоскостей (противоположные грани).

Количество сторон $n$ многоугольника в сечении равно количеству граней параллелепипеда, которые пересекает плоскость $\alpha$. По условию, $n > 3$. Поскольку у параллелепипеда всего 6 граней, то $n$ может быть равно 4, 5 или 6.

Рассмотрим 3 пары параллельных граней как 3 "контейнера", а $n$ граней, пересекаемых плоскостью $\alpha$, — как $n$ "предметов". Так как число "предметов" $n$ больше числа "контейнеров" (3), то согласно принципу Дирихле, найдётся хотя бы один "контейнер" (пара параллельных граней), в котором окажется как минимум два "предмета".

Это означает, что секущая плоскость $\alpha$ обязательно пересекает обе грани хотя бы одной пары параллельных граней параллелепипеда. Обозначим эти параллельные грани как $F_1$ и $F_2$.

По свойству параллельных плоскостей, если две параллельные плоскости ($F_1$ и $F_2$) пересечены третьей плоскостью ($\alpha$), то линии их пересечения параллельны.

Стороны $n$-угольника, лежащие на гранях $F_1$ и $F_2$, являются отрезками этих параллельных прямых. Следовательно, эти две стороны сечения параллельны друг другу.

Таким образом, у $n$-угольника, являющегося сечением параллелепипеда, при $n > 3$ всегда есть хотя бы одна пара параллельных сторон, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

20.20. Может ли сечением параллелепипеда являться правильный пятиугольник?

Нет, сечением параллелепипеда не может являться правильный пятиугольник. Докажем это утверждение.

1. Параллелепипед — это многогранник, у которого есть три пары параллельных граней.

2. Когда некоторая плоскость пересекает две параллельные плоскости (в нашем случае — две параллельные грани параллелепипеда), то линии пересечения параллельны друг другу.

3. Из этого следует, что стороны многоугольника, который получается в сечении параллелепипеда, должны быть попарно параллельны. То есть, если секущая плоскость пересекает пару параллельных граней, то в сечении образуется пара параллельных сторон.

4. Сечение в виде пятиугольника означает, что секущая плоскость пересекает 5 граней параллелепипеда. Поскольку у параллелепипеда всего 3 пары граней, то как минимум две пары граней будут пересечены. Например, плоскость может пересечь обе грани из первой пары, обе грани из второй пары и одну грань из третьей пары. Это означает, что в пятиугольном сечении должно быть как минимум две пары параллельных сторон.

5. Теперь рассмотрим свойства правильного пятиугольника. У правильного пятиугольника все стороны равны и все углы равны $108^\circ$. В правильном пятиугольнике нет ни одной пары параллельных сторон. Если бы две стороны были параллельны, то сумма внутренних односторонних углов, образованных этими сторонами и третьей стороной в качестве секущей, должна была бы равняться $180^\circ$. Но все углы равны $108^\circ$, что не удовлетворяет этому условию.

Таким образом, мы приходим к противоречию:

• Свойство сечения параллелепипеда требует, чтобы у пятиугольного сечения было хотя бы две пары параллельных сторон.
• Свойство правильного пятиугольника заключается в том, что у него нет параллельных сторон.

Так как эти два утверждения несовместимы, правильный пятиугольник не может быть сечением параллелепипеда.

Ответ: нет, не может.

20.21. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, а площади диагональных сечений равны $S_1$ и $S_2$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Пусть дан прямой параллелепипед, в основании которого лежит ромб. Обозначим сторону ромба как $a$, его диагонали как $d_1$ и $d_2$, а высоту параллелепипеда (которая равна длине бокового ребра) как $h$.

Поскольку параллелепипед прямой, его боковые ребра перпендикулярны основанию. Диагональные сечения такого параллелепипеда являются прямоугольниками. Одно сечение проходит через диагональ $d_1$ основания и два противолежащих боковых ребра, другое — через диагональ $d_2$ и два других боковых ребра.

Площади этих диагональных сечений, согласно условию, равны $S_1$ и $S_2$. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Таким образом, мы можем записать:
$S_1 = d_1 \cdot h$
$S_2 = d_2 \cdot h$

Из этих соотношений выразим длины диагоналей ромба через площади сечений и высоту параллелепипеда:
$d_1 = \frac{S_1}{h}$
$d_2 = \frac{S_2}{h}$

Для ромба справедливо свойство: сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на четыре. Это следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей (катеты $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$) и стороной ромба (гипотенуза $a$):
$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$
$a^2 = \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4}$
$4a^2 = d_1^2 + d_2^2$

Теперь подставим в это равенство выражения для $d_1$ и $d_2$:
$4a^2 = \left(\frac{S_1}{h}\right)^2 + \left(\frac{S_2}{h}\right)^2$
$4a^2 = \frac{S_1^2}{h^2} + \frac{S_2^2}{h^2}$
$4a^2 = \frac{S_1^2 + S_2^2}{h^2}$

Умножим обе части уравнения на $h^2$, чтобы избавиться от знаменателя:
$4a^2h^2 = S_1^2 + S_2^2$

Нам нужно найти площадь боковой поверхности параллелепипеда, $S_{бок}$. Для прямого параллелепипеда она вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания.
Периметр ромба со стороной $a$ равен $P_{осн} = 4a$.
Следовательно, площадь боковой поверхности равна $S_{бок} = 4ah$.

Чтобы найти $S_{бок}$, возведем выражение $4ah$ в квадрат:
$S_{бок}^2 = (4ah)^2 = 16a^2h^2$
Мы уже получили, что $4a^2h^2 = S_1^2 + S_2^2$. Подставим это в выражение для $S_{бок}^2$:
$S_{бок}^2 = 4 \cdot (4a^2h^2) = 4(S_1^2 + S_2^2)$

Наконец, извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти $S_{бок}$. Так как площадь не может быть отрицательной, берем положительное значение корня:
$S_{бок} = \sqrt{4(S_1^2 + S_2^2)} = 2\sqrt{S_1^2 + S_2^2}$

Ответ: $2\sqrt{S_1^2 + S_2^2}$

20.22. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, площадь которого равна $S$. Площади диагональных сечений равны $S_1$ и $S_2$. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Решение:

Пусть $h$ — длина бокового ребра прямого параллелепипеда, а $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей ромба, лежащего в основании.

Площадь основания (ромба) $S$ выражается через его диагонали $d_1$ и $d_2$ по формуле: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Так как параллелепипед прямой, его боковые ребра перпендикулярны основанию. Следовательно, диагональные сечения являются прямоугольниками. Стороны этих прямоугольников — это диагонали основания и боковое ребро $h$.

Площади диагональных сечений $S_1$ и $S_2$ равны:
$S_1 = d_1 \cdot h$
$S_2 = d_2 \cdot h$

Из этих двух уравнений выразим диагонали $d_1$ и $d_2$:
$d_1 = \frac{S_1}{h}$
$d_2 = \frac{S_2}{h}$

Теперь подставим эти выражения для диагоналей в формулу площади ромба:

$S = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{S_1}{h}\right) \cdot \left(\frac{S_2}{h}\right)$

Упростим полученное выражение:

$S = \frac{S_1 S_2}{2h^2}$

Отсюда выразим $h^2$:

$2Sh^2 = S_1 S_2$

$h^2 = \frac{S_1 S_2}{2S}$

Так как длина бокового ребра $h$ является положительной величиной, извлечем квадратный корень:

$h = \sqrt{\frac{S_1 S_2}{2S}}$

Ответ: $\sqrt{\frac{S_1 S_2}{2S}}$

20.23. Через диагональ $BD$ основания $ABCD$ и вершину $C_1$ прямого параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ проведена плоскость, образующая угол $30^\circ$ с плоскостью основания. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если $BC = 8$ см, $CD = 4$ см, $\angle BCD = 60^\circ$.

По условию задачи дан прямой параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, в основании которого лежит параллелограмм $ABCD$. Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда находится по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота параллелепипеда (длина его бокового ребра, например, $CC_1$).

1. Найдем периметр основания.

Основание $ABCD$ — параллелограмм. Его стороны равны $BC = 8$ см и $CD = 4$ см. Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому $AD = BC = 8$ см и $AB = CD = 4$ см.

Периметр основания равен:

$P_{осн} = 2 \cdot (BC + CD) = 2 \cdot (8 + 4) = 2 \cdot 12 = 24$ см.

2. Найдем высоту параллелепипеда.

Высота прямого параллелепипеда $h = CC_1$. Для её нахождения используем информацию об угле между плоскостью сечения $(BDC_1)$ и плоскостью основания $(ABC)$.

Угол между двумя плоскостями — это двугранный угол. Его линейная мера определяется углом между двумя перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей ($BD$) в одной точке.

Построим линейный угол. В плоскости основания $(ABC)$ из вершины $C$ опустим перпендикуляр $CH$ на диагональ $BD$. Таким образом, $CH \perp BD$.

Так как параллелепипед прямой, ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, а значит, перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе $CC_1 \perp CH$.

Прямая $C_1H$ является наклонной к плоскости $(ABC)$, а $CH$ — её проекцией на эту плоскость. Поскольку проекция $CH$ перпендикулярна прямой $BD$, то по теореме о трёх перпендикулярах и сама наклонная $C_1H$ перпендикулярна $BD$ ($C_1H \perp BD$).

Следовательно, угол $\angle C_1HC$ и есть линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения $(BDC_1)$ и плоскостью основания. По условию, $\angle C_1HC = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle C_1HC$ (угол $\angle C = 90^\circ$). В нем катет $CC_1$ — это искомая высота $h$, а катет $CH$ — высота треугольника $\triangle BCD$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan(\angle C_1HC) = \frac{CC_1}{CH} \Rightarrow h = CC_1 = CH \cdot \tan(30^\circ)$.

Чтобы найти $h$, необходимо сначала вычислить длину $CH$.

Для этого рассмотрим треугольник $\triangle BCD$ в основании. По теореме косинусов найдем длину диагонали $BD$:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$

$BD^2 = 8^2 + 4^2 - 2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot \cos(60^\circ) = 64 + 16 - 64 \cdot \frac{1}{2} = 80 - 32 = 48$

$BD = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем площадь треугольника $\triangle BCD$:

$S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} BC \cdot CD \cdot \sin(\angle BCD) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 \cdot \sin(60^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь этого же треугольника можно выразить через основание $BD$ и высоту $CH$:

$S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} BD \cdot CH$

Отсюда выразим и найдем $CH$:

$CH = \frac{2 \cdot S_{\triangle BCD}}{BD} = \frac{2 \cdot 8\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = 4$ см.

Теперь можем найти высоту параллелепипеда $h$:

$h = CC_1 = CH \cdot \tan(30^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

3. Найдем площадь боковой поверхности.

Подставим найденные значения периметра основания и высоты в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 24 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = 8 \cdot 4\sqrt{3} = 32\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $32\sqrt{3}$ см$^2$.

20.24. Основание $ABCD$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадратом. Вершина $A_1$ равноудалена от всех вершин основания $ABCD$. Найдите высоту параллелепипеда, если сторона основания равна $8 \text{ см}$, а боковое ребро параллелепипеда — $6 \text{ см}$.

По условию задачи, основание $ABCD$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадратом, а вершина $A_1$ равноудалена от всех вершин основания $ABCD$. Это означает, что отрезки, соединяющие $A_1$ с вершинами основания, равны: $A_1A = A_1B = A_1C = A_1D$.

Высота параллелепипеда — это перпендикуляр, опущенный из вершины верхнего основания на плоскость нижнего основания. Проведем высоту $A_1O$ из вершины $A_1$ на плоскость основания $ABCD$. Таким образом, $A_1O$ — высота параллелепипеда, и $A_1O \perp (ABCD)$.

Отрезки $OA$, $OB$, $OC$, $OD$ являются проекциями наклонных $A_1A$, $A_1B$, $A_1C$, $A_1D$ на плоскость $ABCD$ соответственно. Поскольку наклонные равны ($A_1A = A_1B = A_1C = A_1D$), то и их проекции на плоскость также равны ($OA = OB = OC = OD$).

Точка $O$, равноудаленная от всех вершин квадрата $ABCD$, является его центром — точкой пересечения диагоналей $AC$ и $BD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1OA$, где $\angle A_1OA = 90^\circ$. Катет $A_1O$ — это искомая высота $H$, катет $OA$ — это половина диагонали квадрата, а гипотенуза $A_1A$ — это боковое ребро параллелепипеда. По теореме Пифагора:$A_1A^2 = A_1O^2 + OA^2$Отсюда, $H^2 = A_1O^2 = A_1A^2 - OA^2$.

Из условия задачи нам известны:

• Сторона основания $AB = 8$ см.
• Боковое ребро $A_1A = 6$ см.

Найдем длину отрезка $OA$. Сначала найдем длину диагонали $AC$ квадрата $ABCD$ по теореме Пифагора для треугольника $\triangle ABC$:$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128$$AC = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$ см.

Точка $O$ делит диагональ $AC$ пополам, следовательно:$OA = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь можем вычислить высоту $H$:$H^2 = A_1A^2 - OA^2 = 6^2 - (4\sqrt{2})^2 = 36 - (16 \cdot 2) = 36 - 32 = 4$$H = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.

20.25. Основание $ABCD$ наклонного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадратом, а плоскости граней $AA_1B_1B$ и $CC_1D_1D$ перпендикулярны плоскости основания. Найдите площадь грани $AA_1D_1D$, если каждое ребро параллелепипеда равно 8 см.

Пусть дан наклонный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

По условию, основание $ABCD$ является квадратом. Это означает, что все его стороны равны, а углы прямые. В частности, $AD \perp AB$.

Также по условию, каждое ребро параллелепипеда равно 8 см. Следовательно, стороны основания $AD$ и боковое ребро $AA_1$ равны:
$AD = 8$ см
$AA_1 = 8$ см

Грань $AA_1D_1D$ является параллелограммом. Для нахождения ее площади можно использовать формулу $S = a \cdot b \cdot \sin\alpha$, где $a$ и $b$ – смежные стороны, а $\alpha$ – угол между ними. В нашем случае, это $S_{AA_1D_1D} = AD \cdot AA_1 \cdot \sin(\angle DAA_1)$. Найдем угол $\angle DAA_1$.

Из условия известно, что плоскость боковой грани $(AA_1B_1B)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABCD)$. Линией пересечения этих двух плоскостей является ребро $AB$.

Ребро $AD$ лежит в плоскости основания $(ABCD)$ и перпендикулярно линии пересечения $AB$ (так как $ABCD$ – квадрат).

Согласно теореме о перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и второй плоскости.

Таким образом, прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $(AA_1B_1B)$.

Поскольку прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $(AA_1B_1B)$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Ребро $AA_1$ лежит в плоскости $(AA_1B_1B)$, следовательно, $AD \perp AA_1$.

Это означает, что угол между ребрами $AD$ и $AA_1$ равен $90^\circ$, то есть $\angle DAA_1 = 90^\circ$.

Таким образом, грань $AA_1D_1D$ является параллелограммом с прямым углом, то есть прямоугольником. Так как его смежные стороны $AD$ и $AA_1$ равны 8 см, эта грань является квадратом.

Площадь грани $AA_1D_1D$ равна произведению ее сторон: $S_{AA_1D_1D} = AD \cdot AA_1 = 8 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 64 \text{ см}^2$.

Ответ: $64 \text{ см}^2$.

20.26. Все грани параллелепипеда являются ромбами с острыми углами, равными $60^\circ$. Найдите расстояние между параллельными гранями параллелепипеда, если ребро параллелепипеда равно $a$.

Данный параллелепипед, у которого все грани являются равными ромбами, называется ромбоэдром. По условию, все грани — это ромбы со стороной $a$ и острыми углами, равными $60^\circ$.

Расстояние между параллельными гранями представляет собой высоту параллелепипеда, проведенную к одной из этих граней. В силу того, что все грани являются одинаковыми ромбами, высоты, проведенные к разным граням, будут равны. Следовательно, достаточно найти высоту, опущенную на любую из граней.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть вершина $A$ параллелепипеда $ABCDA'B'C'D'$ находится в начале координат $(0, 0, 0)$. Ребро $AB$ направим вдоль оси $Ox$. Тогда координаты вершины $B$ будут $(a, 0, 0)$.

Ребро $AD$ расположим в плоскости $Oxy$. Так как грань $ABCD$ — это ромб со стороной $a$ и углом $\angle DAB = 60^\circ$, то координаты вершины $D$ вычисляются как $(a \cos 60^\circ, a \sin 60^\circ, 0)$, что дает $D(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$. Таким образом, плоскость основания $ABCD$ совпадает с плоскостью $z=0$.

Пусть координаты вершины $A'$ равны $(x, y, z)$. Длина ребра $|AA'|$ равна $a$, поэтому выполняется равенство $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$.

По условию, все плоские углы при вершине $A$, образованные ребрами, равны $60^\circ$. То есть, $\angle BAA' = 60^\circ$ и $\angle DAA' = 60^\circ$. Для нахождения координат $x$ и $y$ воспользуемся определением скалярного произведения векторов.

Вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $(a, 0, 0)$, вектор $\vec{AD}$ — $(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$, а вектор $\vec{AA'}$ — $(x, y, z)$.

Скалярное произведение векторов $\vec{AA'}$ и $\vec{AB}$ равно $|\vec{AA'}| \cdot |\vec{AB}| \cdot \cos 60^\circ$. $x \cdot a + y \cdot 0 + z \cdot 0 = a \cdot a \cdot \frac{1}{2}$, откуда $ax = \frac{a^2}{2}$, следовательно, $x = \frac{a}{2}$.

Аналогично, скалярное произведение векторов $\vec{AA'}$ и $\vec{AD}$ равно $|\vec{AA'}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos 60^\circ$. $x \cdot \frac{a}{2} + y \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} + z \cdot 0 = a \cdot a \cdot \frac{1}{2}$. Подставим найденное значение $x = a/2$: $\frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} + y \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2}{2}$. $\frac{a^2}{4} + y\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2}{2}$. $y\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{4}$. $y = \frac{a^2}{4} \cdot \frac{2}{a\sqrt{3}} = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Теперь найдем координату $z$ из уравнения длины ребра $AA'$: $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$. $(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{6})^2 + z^2 = a^2$. $\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{36} + z^2 = a^2$. $\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{12} + z^2 = a^2$. $\frac{3a^2 + a^2}{12} + z^2 = a^2$. $\frac{4a^2}{12} + z^2 = a^2 \implies \frac{a^2}{3} + z^2 = a^2$. $z^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$. $z = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = a\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Координата $z$ точки $A'$ и есть высота параллелепипеда $h$, опущенная на основание $ABCD$, которое лежит в плоскости $z=0$. Таким образом, расстояние между гранями $ABCD$ и $A'B'C'D'$ равно $h = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Так как все грани параллелепипеда идентичны, расстояние между любой парой параллельных граней будет таким же.

Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

20.27. Основанием параллелепипеда является ромб, сторона которого равна $a$, а острый угол — $60^\circ$. Боковые грани параллелепипеда — ромбы с острыми углами, равными $45^\circ$. Найдите высоту параллелепипеда.

Обозначим параллелепипед как $ABCDA'B'C'D'$, где $ABCD$ — это основание.

По условию, основанием является ромб со стороной $a$ и острым углом $60^\circ$. Пусть $\angle BAD = 60^\circ$. Тогда все стороны ромба равны $a$: $AB = BC = CD = DA = a$.

Боковые грани — это ромбы с острыми углами $45^\circ$. Поскольку боковые грани имеют общие ребра с основанием (например, грань $ABB'A'$ имеет общее ребро $AB$), то все стороны боковых граней также равны $a$. Это означает, что все 12 ребер параллелепипеда равны $a$.

Будем считать, что острые углы боковых граней, примыкающие к вершине $A$ основания, равны $45^\circ$. То есть, $\angle A'AB = 45^\circ$ и $\angle A'AD = 45^\circ$. Высотой параллелепипеда $H$ является перпендикуляр, опущенный из вершины $A'$ на плоскость основания $ABCD$.

Для нахождения высоты $H$ введем декартову систему координат с началом в вершине $A(0, 0, 0)$.

Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$. Тогда координаты вершины $B$ будут $(a, 0, 0)$.

Расположим основание $ABCD$ в плоскости $Oxy$. Так как $AD = a$ и $\angle BAD = 60^\circ$, координаты вершины $D$ будут:$D = (a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0) = (a \cdot \frac{1}{2}, a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Пусть вершина $A'$ имеет координаты $(x, y, z)$. Высота параллелепипеда $H$ равна z-координате этой точки ($H = z$, при $z > 0$).

Длина бокового ребра $AA'$ равна $a$. Используя формулу расстояния между точками $A(0,0,0)$ и $A'(x,y,z)$, получаем уравнение:$|\vec{AA'}|^2 = x^2 + y^2 + z^2 = a^2$. (1)

Угол между ребром $AA'$ и ребром $AB$ равен $45^\circ$. Выразим это через скалярное произведение векторов $\vec{AA'} = (x, y, z)$ и $\vec{AB} = (a, 0, 0)$:$\vec{AA'} \cdot \vec{AB} = |\vec{AA'}| \cdot |\vec{AB}| \cos(45^\circ)$$x \cdot a + y \cdot 0 + z \cdot 0 = a \cdot a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$ax = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}$$x = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. (2)

Аналогично, угол между ребром $AA'$ и ребром $AD$ равен $45^\circ$. Скалярное произведение векторов $\vec{AA'} = (x, y, z)$ и $\vec{AD} = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$:$\vec{AA'} \cdot \vec{AD} = |\vec{AA'}| \cdot |\vec{AD}| \cos(45^\circ)$$x \cdot \frac{a}{2} + y \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} + z \cdot 0 = a \cdot a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$\frac{ax}{2} + \frac{ay\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}$Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{a}$:$x + y\sqrt{3} = a\sqrt{2}$. (3)

Теперь решим полученную систему уравнений. Подставим значение $x$ из уравнения (2) в уравнение (3):$\frac{a\sqrt{2}}{2} + y\sqrt{3} = a\sqrt{2}$$y\sqrt{3} = a\sqrt{2} - \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$y = \frac{a\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{6}$.

Наконец, подставим найденные значения $x$ и $y$ в уравнение (1), чтобы найти высоту $H = z$:$H^2 = z^2 = a^2 - x^2 - y^2$$H^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a\sqrt{6}}{6}\right)^2$$H^2 = a^2 - \frac{a^2 \cdot 2}{4} - \frac{a^2 \cdot 6}{36}$$H^2 = a^2 - \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{6}$$H^2 = a^2 \left(\frac{6}{6} - \frac{3}{6} - \frac{1}{6}\right) = a^2 \left(\frac{6-3-1}{6}\right) = a^2 \left(\frac{2}{6}\right) = \frac{a^2}{3}$$H = \sqrt{\frac{a^2}{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{3}}{3}$

20.28. Основанием параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является прямоугольник $ABCD$. Известно, что $AA_1 = a$, $\angle A_1AB = \alpha$, $\angle A_1AD = \beta$. Найдите высоту параллелепипеда.

Для нахождения высоты параллелепипеда введем прямоугольную (декартову) систему координат. Пусть вершина $A$ параллелепипеда совпадает с началом координат $(0, 0, 0)$. Так как основание $ABCD$ является прямоугольником, мы можем направить оси координат вдоль его сторон: ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, а ось $Oy$ вдоль ребра $AD$. В этом случае ось $Oz$ будет перпендикулярна плоскости основания $ABCD$.

Высота параллелепипеда $h$ — это перпендикуляр, опущенный из любой вершины верхнего основания (например, $A_1$) на плоскость нижнего основания ($ABCD$). В нашей системе координат это будет аппликата (координата $z$) точки $A_1$. Пусть координаты точки $A_1$ будут $(x_1, y_1, z_1)$. Тогда высота $h = z_1$ (мы предполагаем, что верхнее основание находится над нижним, то есть $z_1 > 0$).

По условию, длина бокового ребра $AA_1 = a$. Длина вектора $\vec{AA_1}$ с координатами $(x_1, y_1, z_1)$ равна $a$. Это можно записать с помощью теоремы Пифагора в пространстве:$|\vec{AA_1}|^2 = x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 = a^2$

Нам даны углы, которые боковое ребро $AA_1$ образует с ребрами основания $AB$ и $AD$.Угол $\angle A_1AB = \alpha$ — это угол между вектором $\vec{AA_1}$ и осью $Ox$. Координата $x_1$ является проекцией вектора $\vec{AA_1}$ на ось $Ox$, поэтому:$x_1 = |\vec{AA_1}| \cos \alpha = a \cos \alpha$

Аналогично, угол $\angle A_1AD = \beta$ — это угол между вектором $\vec{AA_1}$ и осью $Oy$. Координата $y_1$ является проекцией вектора $\vec{AA_1}$ на ось $Oy$:$y_1 = |\vec{AA_1}| \cos \beta = a \cos \beta$

Теперь подставим найденные выражения для $x_1$ и $y_1$ в уравнение для длины вектора $\vec{AA_1}$:$(a \cos \alpha)^2 + (a \cos \beta)^2 + z_1^2 = a^2$$a^2 \cos^2 \alpha + a^2 \cos^2 \beta + z_1^2 = a^2$

Выразим из этого уравнения $z_1^2$:$z_1^2 = a^2 - a^2 \cos^2 \alpha - a^2 \cos^2 \beta$$z_1^2 = a^2 (1 - \cos^2 \alpha - \cos^2 \beta)$

Так как высота $h=z_1$ — это длина, она должна быть неотрицательной. Извлекаем квадратный корень:$h = z_1 = \sqrt{a^2 (1 - \cos^2 \alpha - \cos^2 \beta)} = a \sqrt{1 - \cos^2 \alpha - \cos^2 \beta}$

Ответ: $a \sqrt{1 - \cos^2 \alpha - \cos^2 \beta}$

20.29. Ребро куба равно 1 см. Докажите, что сумма расстояний от любой точки пространства до его вершин не меньше, чем $4\sqrt{3}$ см.

Пусть ребро куба равно $a=1$ см. Введем декартову систему координат, поместив одну из вершин куба в начало координат $O(0, 0, 0)$, а ребра направив вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$. Тогда все 8 вершин куба будут иметь координаты, состоящие из нулей и единиц.

Рассмотрим 4 главные диагонали куба, которые соединяют пары противоположных вершин. Длина каждой главной диагонали куба с ребром $a=1$ равна $d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ см.

Пусть $P$ — произвольная точка в пространстве. Обозначим сумму расстояний от точки $P$ до всех восьми вершин куба как $S$. Нам нужно доказать, что $S \ge 4\sqrt{3}$.

Разобьем 8 вершин на 4 пары противоположных вершин. Пусть $(V_k, V'_k)$ — одна из таких пар, где $k=1, 2, 3, 4$. Для любой точки $P$ и любой такой пары вершин по неравенству треугольника справедливо: $|PV_k| + |PV'_k| \ge |V_k V'_k|$.

Поскольку $|V_k V'_k|$ — это длина главной диагонали, то для каждой из четырех пар вершин выполняется неравенство: $|PV_k| + |PV'_k| \ge \sqrt{3}$.

Сумма $S$ расстояний от точки $P$ до всех восьми вершин является суммой расстояний по всем четырем парам: $S = \sum_{k=1}^{4} (|PV_k| + |PV'_k|) = (|PV_1| + |PV'_1|) + (|PV_2| + |PV'_2|) + (|PV_3| + |PV'_3|) + (|PV_4| + |PV'_4|)$.

Сложив неравенства для всех четырех пар, получим итоговую оценку для суммы $S$: $S \ge \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

Таким образом, доказано, что сумма расстояний от любой точки пространства до вершин куба не меньше, чем $4\sqrt{3}$ см. Стоит отметить, что равенство достигается, когда точка $P$ совпадает с центром куба, так как в этом случае она лежит на отрезке, соединяющем каждую пару противоположных вершин.

Ответ: Утверждение доказано.