Номер 20.24, страница 218 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.24. Основание $ABCD$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадратом. Вершина $A_1$ равноудалена от всех вершин основания $ABCD$. Найдите высоту параллелепипеда, если сторона основания равна $8 \text{ см}$, а боковое ребро параллелепипеда — $6 \text{ см}$.

По условию задачи, основание $ABCD$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадратом, а вершина $A_1$ равноудалена от всех вершин основания $ABCD$. Это означает, что отрезки, соединяющие $A_1$ с вершинами основания, равны: $A_1A = A_1B = A_1C = A_1D$.

Высота параллелепипеда — это перпендикуляр, опущенный из вершины верхнего основания на плоскость нижнего основания. Проведем высоту $A_1O$ из вершины $A_1$ на плоскость основания $ABCD$. Таким образом, $A_1O$ — высота параллелепипеда, и $A_1O \perp (ABCD)$.

Отрезки $OA$, $OB$, $OC$, $OD$ являются проекциями наклонных $A_1A$, $A_1B$, $A_1C$, $A_1D$ на плоскость $ABCD$ соответственно. Поскольку наклонные равны ($A_1A = A_1B = A_1C = A_1D$), то и их проекции на плоскость также равны ($OA = OB = OC = OD$).

Точка $O$, равноудаленная от всех вершин квадрата $ABCD$, является его центром — точкой пересечения диагоналей $AC$ и $BD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1OA$, где $\angle A_1OA = 90^\circ$. Катет $A_1O$ — это искомая высота $H$, катет $OA$ — это половина диагонали квадрата, а гипотенуза $A_1A$ — это боковое ребро параллелепипеда. По теореме Пифагора:$A_1A^2 = A_1O^2 + OA^2$Отсюда, $H^2 = A_1O^2 = A_1A^2 - OA^2$.

Из условия задачи нам известны:

• Сторона основания $AB = 8$ см.
• Боковое ребро $A_1A = 6$ см.

Найдем длину отрезка $OA$. Сначала найдем длину диагонали $AC$ квадрата $ABCD$ по теореме Пифагора для треугольника $\triangle ABC$:$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128$$AC = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$ см.

Точка $O$ делит диагональ $AC$ пополам, следовательно:$OA = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь можем вычислить высоту $H$:$H^2 = A_1A^2 - OA^2 = 6^2 - (4\sqrt{2})^2 = 36 - (16 \cdot 2) = 36 - 32 = 4$$H = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.