gdz.top
Номер 20.19, страница 218 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков
Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М., Номировский Д. А.
Тип: Учебник
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: зелёный, салатовый
ISBN: 978-5-360 07805-0
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 4. Многогранники. Параграф 20. Параллелепипед - номер 20.19, страница 218.
№20.18
№20.19 (с. 218)
Условие. №20.19 (с. 218)
20.19. Сечением параллелепипеда является $n$-угольник ($n > 3$). Докажите, что у этого $n$-угольника есть параллельные стороны.
Решение. №20.19 (с. 218)
Решение 2. №20.19 (с. 218)
Пусть дан параллелепипед и секущая плоскость $\alpha$. Сечением является $n$-угольник, где $n > 3$. Стороны этого $n$-угольника являются отрезками, по которым плоскость $\alpha$ пересекает грани параллелепипеда.
Параллелепипед имеет 6 граней, которые образуют 3 пары параллельных между собой плоскостей (противоположные грани).
Количество сторон $n$ многоугольника в сечении равно количеству граней параллелепипеда, которые пересекает плоскость $\alpha$. По условию, $n > 3$. Поскольку у параллелепипеда всего 6 граней, то $n$ может быть равно 4, 5 или 6.
Рассмотрим 3 пары параллельных граней как 3 "контейнера", а $n$ граней, пересекаемых плоскостью $\alpha$, — как $n$ "предметов". Так как число "предметов" $n$ больше числа "контейнеров" (3), то согласно принципу Дирихле, найдётся хотя бы один "контейнер" (пара параллельных граней), в котором окажется как минимум два "предмета".
Это означает, что секущая плоскость $\alpha$ обязательно пересекает обе грани хотя бы одной пары параллельных граней параллелепипеда. Обозначим эти параллельные грани как $F_1$ и $F_2$.
По свойству параллельных плоскостей, если две параллельные плоскости ($F_1$ и $F_2$) пересечены третьей плоскостью ($\alpha$), то линии их пересечения параллельны.
Стороны $n$-угольника, лежащие на гранях $F_1$ и $F_2$, являются отрезками этих параллельных прямых. Следовательно, эти две стороны сечения параллельны друг другу.
Таким образом, у $n$-угольника, являющегося сечением параллелепипеда, при $n > 3$ всегда есть хотя бы одна пара параллельных сторон, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 20.19 расположенного на странице 218 к учебнику 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №20.19 (с. 218), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), Номировский (Дмитрий Анатольевич), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.