Номер 20.17, страница 218 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.17. Диагональ $AC_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ образует с плоскостями $ABC$, $ABB_1$ и $ADD_1$ соответственно углы $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Докажите, что $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 1$.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Обозначим длины его ребер, выходящих из вершины $A$, следующим образом: $AB = a$, $AD = b$ и $AA_1 = c$.Квадрат длины главной диагонали $AC_1$ прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений:$d^2 = AC_1^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

Угол между наклонной и плоскостью — это угол между этой наклонной и ее проекцией на данную плоскость. Синус этого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, образованном наклонной, ее проекцией и перпендикуляром, опущенным из точки наклонной на плоскость.

1. Угол $\alpha$ между диагональю $AC_1$ и плоскостью основания $ABC$.
Проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость основания $ABC$ является диагональ основания $AC$. Следовательно, угол $\alpha$ — это угол $\angle C_1AC$.
Рассмотрим треугольник $\triangle AC_1C$. Ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости $ABC$, а значит, и прямой $AC$, лежащей в этой плоскости. Таким образом, $\triangle AC_1C$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.
В этом треугольнике катет $CC_1$ противолежит углу $\alpha$, а $AC_1$ является гипотенузой. Длина катета $CC_1 = c$.По определению синуса:$\sin\alpha = \frac{CC_1}{AC_1} = \frac{c}{AC_1}$.

2. Угол $\beta$ между диагональю $AC_1$ и плоскостью передней грани $ABB_1A_1$.
Проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость грани $ABB_1A_1$ является диагональ этой грани $AB_1$. Следовательно, угол $\beta$ — это угол $\angle C_1AB_1$.
Рассмотрим треугольник $\triangle AC_1B_1$. Ребро $B_1C_1$ перпендикулярно плоскости $ABB_1A_1$, а значит, и прямой $AB_1$. Таким образом, $\triangle AC_1B_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B_1$.
В этом треугольнике катет $B_1C_1$ противолежит углу $\beta$, а $AC_1$ является гипотенузой. Длина катета $B_1C_1 = AD = b$.По определению синуса:$\sin\beta = \frac{B_1C_1}{AC_1} = \frac{b}{AC_1}$.

3. Угол $\gamma$ между диагональю $AC_1$ и плоскостью боковой грани $ADD_1A_1$.
Проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость грани $ADD_1A_1$ является диагональ этой грани $AD_1$. Следовательно, угол $\gamma$ — это угол $\angle C_1AD_1$.
Рассмотрим треугольник $\triangle AC_1D_1$. Ребро $D_1C_1$ перпендикулярно плоскости $ADD_1A_1$, а значит, и прямой $AD_1$. Таким образом, $\triangle AC_1D_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D_1$.
В этом треугольнике катет $D_1C_1$ противолежит углу $\gamma$, а $AC_1$ является гипотенузой. Длина катета $D_1C_1 = AB = a$.По определению синуса:$\sin\gamma = \frac{D_1C_1}{AC_1} = \frac{a}{AC_1}$.

4. Доказательство тождества.
Теперь найдем сумму квадратов полученных синусов:$\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \sin^2\gamma = \left(\frac{c}{AC_1}\right)^2 + \left(\frac{b}{AC_1}\right)^2 + \left(\frac{a}{AC_1}\right)^2$
Сложим дроби с одинаковым знаменателем $AC_1^2$:$\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \sin^2\gamma = \frac{c^2}{AC_1^2} + \frac{b^2}{AC_1^2} + \frac{a^2}{AC_1^2} = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{AC_1^2}$
Вспомним, что $AC_1^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Подставим это выражение в знаменатель:$\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \sin^2\gamma = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{a^2 + b^2 + c^2} = 1$
Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Равенство $\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \sin^2\gamma = 1$ доказано.