Номер 20.10, страница 217 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.10. Стороны основания прямого параллелепипеда равны $2\sqrt{2}$ см и 4 см, а один из углов основания равен $45^\circ$. Большая диагональ параллелепипеда равна 7 см. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Пусть стороны основания прямого параллелепипеда равны $a = 2\sqrt{2}$ см и $b = 4$ см, а один из углов основания равен $45°$. Основанием является параллелограмм. В параллелограмме сумма соседних углов равна $180°$, поэтому второй угол основания равен $180° - 45° = 135°$.

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда ($S_{бок}$) вычисляется как произведение периметра основания ($P_{осн}$) на высоту ($h$):

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

Для решения задачи нам нужно найти высоту параллелепипеда $h$. Мы можем найти ее, зная диагональ параллелепипеда и соответствующую диагональ основания.

1. Найдем диагонали основания

Диагонали параллелограмма можно найти, используя теорему косинусов. В параллелограмме две разные диагонали: одна ($d_1$) лежит против острого угла, другая ($d_2$) — против тупого.

Найдем меньшую диагональ $d_1$, которая лежит против угла $45°$:

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(45°) = (2\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2(2\sqrt{2})(4) \frac{\sqrt{2}}{2}$

$d_1^2 = 8 + 16 - 16 = 8$

$d_1 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

Найдем большую диагональ $d_2$, которая лежит против угла $135°$:

$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(135°) = (2\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2(2\sqrt{2})(4) (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$d_2^2 = 8 + 16 + 16 = 40$

$d_2 = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ см.

2. Найдем высоту параллелепипеда

В прямом параллелепипеде его диагональ ($D$), соответствующая диагональ основания ($d$) и высота ($h$) образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора: $D^2 = d^2 + h^2$.

В задаче дана большая диагональ параллелепипеда, которая равна $D = 7$ см. Она соответствует большей диагонали основания $d_2 = 2\sqrt{10}$ см.

$D^2 = d_2^2 + h^2$

$7^2 = (2\sqrt{10})^2 + h^2$

$49 = 40 + h^2$

$h^2 = 49 - 40 = 9$

$h = 3$ см.

3. Найдем площадь боковой поверхности

Сначала вычислим периметр основания:

$P_{осн} = 2(a + b) = 2(2\sqrt{2} + 4) = 4\sqrt{2} + 8$ см.

Теперь можем найти площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (4\sqrt{2} + 8) \cdot 3 = 12\sqrt{2} + 24$ см².

Ответ: $24 + 12\sqrt{2}$ см².