Номер 20.4, страница 216 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.4. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 20.14), $AB = 5 \text{ см}$, $AD = 7 \text{ см}$, $AA_1 = 12 \text{ см}$. Найдите угол между:

1) прямой $DC_1$ и плоскостью $A_1B_1C_1$;

2) прямой $B_1D$ и плоскостью $ABC$.

Рис. 20.14

1) прямой $DC_1$ и плоскостью $A_1B_1C_1$;

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Найдем проекцию прямой $DC_1$ на плоскость $A_1B_1C_1$.

Точка $C_1$ уже лежит в плоскости $A_1B_1C_1$, следовательно, ее проекция — это сама точка $C_1$.

Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, то ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $A_1B_1C_1D_1$. Это означает, что проекцией точки $D$ на плоскость $A_1B_1C_1$ является точка $D_1$.

Таким образом, проекцией прямой $DC_1$ на плоскость $A_1B_1C_1$ является прямая $D_1C_1$.

Искомый угол — это угол между наклонной $DC_1$ и ее проекцией $D_1C_1$, то есть угол $\angle DC_1D_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle DD_1C_1$. Так как $DD_1 \perp$ плоскости $A_1B_1C_1$, то $DD_1 \perp D_1C_1$. Следовательно, $\triangle DD_1C_1$ — прямоугольный с прямым углом $\angle DD_1C_1$.

Найдем длины катетов:

$DD_1 = AA_1 = 12$ см.

$D_1C_1 = AB = 5$ см.

Тангенс искомого угла $\alpha = \angle DC_1D_1$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\alpha) = \frac{DD_1}{D_1C_1} = \frac{12}{5}$

Следовательно, искомый угол равен $\arctan\left(\frac{12}{5}\right)$.

Ответ: $\arctan\left(\frac{12}{5}\right)$.

2) прямой $B_1D$ и плоскостью $ABC$.

Найдем проекцию прямой $B_1D$ на плоскость $ABC$.

Точка $D$ уже лежит в плоскости $ABC$, значит, ее проекция — это сама точка $D$.

Ребро $B_1B$ перпендикулярно плоскости $ABC$, поэтому проекцией точки $B_1$ на эту плоскость является точка $B$.

Следовательно, проекцией прямой $B_1D$ на плоскость $ABC$ является прямая $BD$.

Искомый угол — это угол между наклонной $B_1D$ и ее проекцией $BD$, то есть угол $\angle B_1DB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle B_1BD$. Так как $B_1B \perp$ плоскости $ABC$, то $B_1B \perp BD$. Следовательно, $\triangle B_1BD$ — прямоугольный с прямым углом $\angle B_1BD$.

Найдем длины катетов:

$B_1B = AA_1 = 12$ см.

Катет $BD$ является диагональю прямоугольника $ABCD$ в основании. Найдем его длину по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle ABD$:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74$

$BD = \sqrt{74}$ см.

Теперь найдем тангенс искомого угла $\beta = \angle B_1DB$ в треугольнике $\triangle B_1BD$:

$\tan(\beta) = \frac{B_1B}{BD} = \frac{12}{\sqrt{74}}$

Следовательно, искомый угол равен $\arctan\left(\frac{12}{\sqrt{74}}\right)$.

Ответ: $\arctan\left(\frac{12}{\sqrt{74}}\right)$.