Номер 19.46, страница 211 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.46. Все грани выпуклого многогранника являются правильными пятиугольниками или правильными шестиугольниками. Найдите количество граней, являющихся пятиугольниками.

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулой Эйлера для выпуклых многогранников, а также посчитаем количество вершин, рёбер и граней через их свойства.

Обозначим:

• $Г_5$ — количество граней, являющихся правильными пятиугольниками.
• $Г_6$ — количество граней, являющихся правильными шестиугольниками.
• $Г$ — общее число граней, $Г = Г_5 + Г_6$.
• $Р$ — общее число рёбер.
• $В$ — общее число вершин.

Формула Эйлера для выпуклого многогранника гласит: $В - Р + Г = 2$.

1. Связь между числом рёбер и числом граней.

Каждая пятиугольная грань имеет 5 рёбер, а каждая шестиугольная — 6 рёбер. Если мы сложим число рёбер всех граней ($5Г_5 + 6Г_6$), мы посчитаем каждое ребро многогранника дважды, так как каждое ребро является общим для двух смежных граней. Следовательно:

$2Р = 5Г_5 + 6Г_6$

2. Связь между числом вершин и числом рёбер.

Рассмотрим, сколько граней может сходиться в одной вершине. Для этого проанализируем сумму плоских углов при вершине, которая для выпуклого многогранника должна быть меньше $360^\circ$.

• Внутренний угол правильного пятиугольника равен $((5-2) \cdot 180^\circ) / 5 = 108^\circ$.
• Внутренний угол правильного шестиугольника равен $((6-2) \cdot 180^\circ) / 6 = 120^\circ$.

Возможные комбинации граней в одной вершине:

• Три пятиугольника: $3 \cdot 108^\circ = 324^\circ < 360^\circ$. (Возможно)
• Два пятиугольника и один шестиугольник: $2 \cdot 108^\circ + 120^\circ = 216^\circ + 120^\circ = 336^\circ < 360^\circ$. (Возможно)
• Один пятиугольник и два шестиугольника: $108^\circ + 2 \cdot 120^\circ = 108^\circ + 240^\circ = 348^\circ < 360^\circ$. (Возможно)
• Три шестиугольника: $3 \cdot 120^\circ = 360^\circ$. (Невозможно, это даст плоскую поверхность)

Любая комбинация из четырёх и более граней невозможна, так как даже четыре пятиугольника дают сумму углов $4 \cdot 108^\circ = 432^\circ > 360^\circ$.

Таким образом, в каждой вершине данного многогранника сходятся ровно три грани. Это означает, что из каждой вершины выходят ровно три ребра. Сумма степеней всех вершин равна $3В$. По лемме о рукопожатиях, эта сумма также равна удвоенному числу рёбер:

$3В = 2Р$

3. Решение системы уравнений.

У нас есть система из трёх соотношений:

1. $В - Р + Г = 2$
2. $2Р = 5Г_5 + 6Г_6$
3. $3В = 2Р$

Из соотношения (3) выразим $В$: $В = \frac{2}{3}Р$.

Подставим это выражение для $В$ и выражение $Г = Г_5 + Г_6$ в формулу Эйлера (1):

$\frac{2}{3}Р - Р + (Г_5 + Г_6) = 2$

$-\frac{1}{3}Р + Г_5 + Г_6 = 2$

Умножим обе части уравнения на 3:

$-Р + 3(Г_5 + Г_6) = 6$

$3Г_5 + 3Г_6 - Р = 6$

Теперь умножим это уравнение на 2:

$6Г_5 + 6Г_6 - 2Р = 12$

Подставим в полученное уравнение выражение для $2Р$ из соотношения (2):

$6Г_5 + 6Г_6 - (5Г_5 + 6Г_6) = 12$

Раскроем скобки:

$6Г_5 + 6Г_6 - 5Г_5 - 6Г_6 = 12$

Приведём подобные слагаемые:

$(6Г_5 - 5Г_5) + (6Г_6 - 6Г_6) = 12$

$Г_5 = 12$

Таким образом, количество пятиугольных граней в таком многограннике всегда равно 12, независимо от числа шестиугольных граней (которое может быть любым целым неотрицательным числом, кроме 1).

Ответ: 12