Номер 19.42, страница 210 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.42. Точки $D$ и $K$ — середины соответственно рёбер $BC$ и $AA_1$ правильной призмы $ABCA_1B_1C_1$. Точка $X$ принадлежит прямой $BK$. Найдите наименьшее значение площади треугольника $AXD$, если $AB = 6$ см и $AA_1 = 8$ см.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $A(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$, а ось $Oy$ так, чтобы основание $ABC$ лежало в плоскости $Oxy$.

Поскольку призма правильная, в ее основании лежит равносторонний треугольник $ABC$. Длина стороны $AB = 6$. Высота призмы $AA_1 = 8$.

Определим координаты вершин и точек $D$ и $K$.

• $A = (0, 0, 0)$
• $B = (6, 0, 0)$
• Высота треугольника $ABC$ равна $h = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$. Координаты точки $C$ будут $(\frac{AB}{2}, h, 0)$, то есть $C = (3, 3\sqrt{3}, 0)$.
• $A_1 = (0, 0, 8)$
• Точка $D$ — середина ребра $BC$. Ее координаты: $D = \left(\frac{6+3}{2}, \frac{0+3\sqrt{3}}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{9}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}, 0\right)$.
• Точка $K$ — середина ребра $AA_1$. Ее координаты: $K = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+8}{2}\right) = (0, 0, 4)$.

Площадь треугольника $AXD$ можно найти по формуле $S_{AXD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h$, где $h$ — расстояние от точки $X$ до прямой $AD$.

Длина отрезка $AD$ постоянна. $AD$ является медианой и высотой в равностороннем треугольнике $ABC$, поэтому ее длина равна $AD = 3\sqrt{3}$.

Площадь треугольника $S_{AXD}$ будет наименьшей, когда расстояние $h$ от точки $X$ до прямой $AD$ будет наименьшим. Точка $X$ принадлежит прямой $BK$. Следовательно, нам нужно найти наименьшее расстояние между скрещивающимися прямыми $AD$ и $BK$. Это расстояние равно длине их общего перпендикуляра.

Расстояние $d$ между двумя скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку $M_1$ с направляющим вектором $\vec{s_1}$, а другая — через точку $M_2$ с направляющим вектором $\vec{s_2}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2})|}{|\vec{s_1} \times \vec{s_2}|}$

Для прямой $AD$ возьмем точку $A(0, 0, 0)$ и направляющий вектор $\vec{s_1} = \vec{AD} = \left(\frac{9}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}, 0\right)$.

Для прямой $BK$ возьмем точку $B(6, 0, 0)$ и направляющий вектор $\vec{s_2} = \vec{BK} = K - B = (0-6, 0-0, 4-0) = (-6, 0, 4)$.

Вектор, соединяющий точки на прямых: $\vec{AB} = B - A = (6, 0, 0)$.

Найдем векторное произведение $\vec{s_1} \times \vec{s_2}$:

$\vec{s_1} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{9}{2} & \frac{3\sqrt{3}}{2} & 0 \\ -6 & 0 & 4 \end{vmatrix} = \vec{i}\left(\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4 - 0 \cdot 0\right) - \vec{j}\left(\frac{9}{2} \cdot 4 - 0 \cdot (-6)\right) + \vec{k}\left(\frac{9}{2} \cdot 0 - \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (-6)\right) = 6\sqrt{3}\vec{i} - 18\vec{j} + 9\sqrt{3}\vec{k}$

Найдем модуль этого вектора:

$|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 + (-18)^2 + (9\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 \cdot 3 + 324 + 81 \cdot 3} = \sqrt{108 + 324 + 243} = \sqrt{675} = \sqrt{225 \cdot 3} = 15\sqrt{3}$

Теперь найдем смешанное произведение (скалярное произведение вектора $\vec{AB}$ на векторное произведение):

$\vec{AB} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2}) = (6, 0, 0) \cdot (6\sqrt{3}, -18, 9\sqrt{3}) = 6 \cdot 6\sqrt{3} + 0 \cdot (-18) + 0 \cdot 9\sqrt{3} = 36\sqrt{3}$

Минимальное расстояние $h_{min}$ равно:

$h_{min} = d = \frac{|36\sqrt{3}|}{15\sqrt{3}} = \frac{36}{15} = \frac{12}{5}$

Теперь можем найти наименьшее значение площади треугольника $AXD$:

$S_{min} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_{min} = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} \cdot \frac{12}{5} = \frac{36\sqrt{3}}{10} = \frac{18\sqrt{3}}{5}$

Ответ: $\frac{18\sqrt{3}}{5}$ см$^2$.