Номер 19.36, страница 210 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.36. Высота правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $h$. Найдите площадь треугольника $BA_1C$, если $\angle BA_1C = \alpha$.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Это означает, что ее основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются правильными (равносторонними) треугольниками, а боковые ребра перпендикулярны основаниям. Высота призмы равна длине бокового ребра, то есть $AA_1 = h$. Обозначим сторону основания призмы через $a$, тогда $AB = BC = CA = a$.

Рассмотрим треугольник $BA_1C$. Его сторона $BC$ является стороной основания, поэтому $BC = a$. Стороны $BA_1$ и $CA_1$ являются диагоналями боковых граней $ABB_1A_1$ и $ACC_1A_1$ соответственно. Так как грани являются равными прямоугольниками, то и их диагонали равны. Следовательно, треугольник $BA_1C$ — равнобедренный с основанием $BC$.

Найдем длину боковых сторон $BA_1$ и $CA_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AB$ (угол $\angle A_1AB = 90^\circ$, так как призма прямая). По теореме Пифагора:

$BA_1^2 = AA_1^2 + AB^2 = h^2 + a^2$.

Таким образом, $BA_1 = CA_1 = \sqrt{h^2 + a^2}$.

Площадь треугольника $BA_1C$ можно вычислить по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними. По условию $\angle BA_1C = \alpha$.

$S_{BA_1C} = \frac{1}{2} \cdot BA_1 \cdot CA_1 \cdot \sin(\angle BA_1C) = \frac{1}{2} (\sqrt{h^2 + a^2}) (\sqrt{h^2 + a^2}) \sin\alpha = \frac{1}{2}(h^2 + a^2)\sin\alpha$.

Чтобы найти площадь, нам нужно выразить неизвестную величину $a$ через известные $h$ и $\alpha$. Для этого применим теорему косинусов к треугольнику $BA_1C$:

$BC^2 = BA_1^2 + CA_1^2 - 2 \cdot BA_1 \cdot CA_1 \cdot \cos(\angle BA_1C)$.

Подставим известные нам выражения для сторон:

$a^2 = (h^2 + a^2) + (h^2 + a^2) - 2(\sqrt{h^2 + a^2})(\sqrt{h^2 + a^2})\cos\alpha$.

$a^2 = 2(h^2 + a^2) - 2(h^2 + a^2)\cos\alpha$.

$a^2 = 2(h^2 + a^2)(1 - \cos\alpha)$.

Теперь выразим из этого уравнения величину $(h^2 + a^2)$, чтобы подставить ее в формулу площади. Для этого сначала найдем $a^2$:

$a^2 = 2h^2(1 - \cos\alpha) + 2a^2(1 - \cos\alpha)$.

$a^2 - 2a^2(1 - \cos\alpha) = 2h^2(1 - \cos\alpha)$.

$a^2(1 - 2 + 2\cos\alpha) = 2h^2(1 - \cos\alpha)$.

$a^2(2\cos\alpha - 1) = 2h^2(1 - \cos\alpha)$.

$a^2 = \frac{2h^2(1 - \cos\alpha)}{2\cos\alpha - 1}$.

Теперь найдем выражение для $(h^2 + a^2)$:

$h^2 + a^2 = h^2 + \frac{2h^2(1 - \cos\alpha)}{2\cos\alpha - 1} = h^2 \left( 1 + \frac{2 - 2\cos\alpha}{2\cos\alpha - 1} \right)$.

$h^2 + a^2 = h^2 \left( \frac{2\cos\alpha - 1 + 2 - 2\cos\alpha}{2\cos\alpha - 1} \right) = h^2 \left( \frac{1}{2\cos\alpha - 1} \right) = \frac{h^2}{2\cos\alpha - 1}$.

Наконец, подставим это выражение в формулу для площади треугольника $BA_1C$:

$S_{BA_1C} = \frac{1}{2}(h^2 + a^2)\sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{h^2}{2\cos\alpha - 1} \right) \cdot \sin\alpha = \frac{h^2 \sin\alpha}{2(2\cos\alpha - 1)}$.

Ответ: $\frac{h^2 \sin\alpha}{2(2\cos\alpha - 1)}$.