Номер 19.43, страница 210 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.43. В правильной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона основания и боковое ребро равны соответственно 1 см и $\sqrt{3}$ см. Найдите наименьшее расстояние между точками $A$ и $C_1$ по поверхности призмы.

Для нахождения наименьшего расстояния между точками A и C₁ по поверхности призмы, необходимо рассмотреть развертки поверхности призмы. Кратчайшим путем будет являться отрезок прямой, соединяющий эти точки на одной из разверток. Существует несколько возможных путей по поверхности, соединяющих точки A и C₁, которые мы должны рассмотреть.

Пусть сторона основания призмы $a = 1$ см, а боковое ребро (высота) $h = \sqrt{3}$ см.

1. Путь по двум смежным боковым граням

Рассмотрим путь, который проходит по граням $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$. Сделаем развертку этих двух граней, получив прямоугольник $ACC_1A_1$ (где точка C на развёртке является вершиной грани $BCC_1B_1$).

Катеты прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является искомое расстояние $d_1$, равны высоте призмы $h$ и сумме длин двух сторон основания $a+a$.

Длина пути $d_1$ находится по теореме Пифагора:

$d_1 = \sqrt{(a+a)^2 + h^2} = \sqrt{(1+1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{2^2 + 3} = \sqrt{4+3} = \sqrt{7}$ см.

По симметрии, путь по граням $ADD_1A_1$ и $DCC_1D_1$ будет иметь такую же длину.

2. Путь по основанию и боковой грани

Рассмотрим путь, который проходит по основанию $ABCD$ и боковой грани $BCC_1B_1$. Сделаем развертку этих двух граней, получив фигуру, состоящую из квадрата $ABCD$ и примыкающего к нему по стороне $BC$ прямоугольника $BCC_1B_1$.

В этом случае расстояние $d_2$ будет гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными стороне основания $a$ и сумме стороны основания и высоты $a+h$.

$d_2 = \sqrt{(a+h)^2 + a^2} = \sqrt{(1+\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 2\sqrt{3} + 3 + 1} = \sqrt{5+2\sqrt{3}}$ см.

Аналогично, путь по основанию $ABCD$ и грани $CDD_1C_1$, а также пути, проходящие через верхнее основание $A_1B_1C_1D_1$ (например, по граням $ADD_1A_1$ и $A_1B_1C_1D_1$), дадут такую же длину $\sqrt{5+2\sqrt{3}}$ см.

Сравнение длин путей

Теперь необходимо сравнить полученные значения $d_1 = \sqrt{7}$ и $d_2 = \sqrt{5+2\sqrt{3}}$, чтобы найти наименьшее.

Сравним подкоренные выражения: $7$ и $5+2\sqrt{3}$.

Вычтем 5 из обоих выражений:

$7 - 5 \quad ? \quad 5+2\sqrt{3} - 5$

$2 \quad ? \quad 2\sqrt{3}$

Разделим на 2:

$1 \quad ? \quad \sqrt{3}$

Возведем в квадрат обе части (так как обе положительны):

$1^2 \quad ? \quad (\sqrt{3})^2$

$1 < 3$

Следовательно, $7 < 5+2\sqrt{3}$, и, соответственно, $\sqrt{7} < \sqrt{5+2\sqrt{3}}$.

Наименьшее расстояние между точками A и C₁ по поверхности призмы равно $\sqrt{7}$ см.

Ответ: $\sqrt{7}$ см.